مفاهیم و نکات آمار در ریاضی

آمار یکی از مباحث پایه‌ای و مهم کتاب‌های ریاضی است. در دوره متوسطه اول در پایه‌های هفتم و هشتم و در دوره متوسطه دوم در تمامی رشته های نظری آمار دیده می شود.

فصل نهم کتاب ریاضی پایه هفتم و فصل هشتم کتاب ریاضی پایه هشتم به مبحث آمار می‌پردازد.

در پایه نهم فصلی با عنوان آمار و احتمال به چشم نمی خورد. فقط در فصل اول آن مبحث احتمال مجدداً مطرح می شود. در این فصل رابطه احتمال با مطالب مربوط به مجموعه ها مورد بررسی قرار گیرد. نحوه تشکیل فضای پیشامدها و فضای پیشامد مطلوب در قالب مجموعه ها در این فصل بیان می شود.
داوطلبان کنکور سراسری با توجه به اینکه درس آمار در کلیه رشته های نظری اعم از ریاضی، تجری و انسانی به تدریج تکمیل می گردد، می توانند مباحث پایه در این صفحه مرور نمایند.

آمار، فراوانی، نمودارها، میانگین، میانه

تفاوت آمار با علم آمار در چیست؟

علم آمار علم جمع آوری اطّلاعات، سازماندهی و بررسی آنها است. اطّلاعات جمع آوری شده را داده های آماری می گویند.

جمع آوری اطلاعات

جمع آوری اطلاعات: پرسیدن، پرسشنامه، مشاهده و…

این بخش ابتدای راه و شاید مهم ترین بخش کار باشد. در این مرحله است که محقق داده های مورد نیاز را جمع آوری می کند.

مشخص کردن گزینه‌های محدودکننده یا گسترده بودن محدوده پاسخ دو انتخاب پیش روی محقق است.

به عنوان مثال، در مورد انتخاب رنگ مورد دانش آموزان دو روش می توان داشت.

روش اول) انتخاب رنگ مورد علاقه دانش آموزان محدود کردن آنها به انتخاب از بین سه رنگ خاص

روش دوم) انتخاب آزادانه هر رنگ دلخواه می تواند به نتایج متفاوتی بیانجامد.

مسلما هر روش مزایا و معایبی دارد و در بررسی جواب باید به نحوه جمع آوری اطلاعات دقت نمود.

ممکن است در روش محدود کردن گزینه های مورد انتخاب عملا رنگ مورد علاقه بیشتر دانش آموزان حذف شده باشد. همان طور که ممکن است تنوع پاسخ های ارائه شده کار انتخاب رنگ را دشوار نماید.

در این مورد خاص که تعداد دانش آموزان محدود به یک کلاس است. می توان از دو شیوه برای بهبود نتایج استفاده کرد:

مثلا ابتدا رنگ مورد علاقه دانش آموزان را بدون محدودیت جمع آوری نمود. سپس از بین رنگ های با بیشترین تعداد مقبولیت، در مورد سه یا چهار رنگ مجددا از دانش آموزان نظرسنجی نمود.
سازماندهی: نوشتن کنارهم، جدول بندی، نمودارها،…
بررسی:انتخاب بهترین گزینه که در این مثال می تواند بیشترین تکرار(یا اصطلاحا مد)، میانه یا مفهوم آماری دیگری  باشد.

نمودارها، نمایش تصویری داده های آماری

برای مقایسه و بررسی بهتر داده های آماری از انواع نمودارها استفاده می کنند.
برای مثال نمودار ستونی برای مقایسۀ تعداد، پیدا کردن بیشترین و کمترین داده به کار می رود.

نمودار ستونی

این نحوه نمایش داده ها یکی از پر کاربردترین روشهای مورد پرسش طراحان تست است.

نمودار خط شکسته

نمودار خطّ شکسته برای نمایش تغییرها کاربرد دارد؛ بنابراین در موضوع هایی که تغییرها اهمّیت دارد. از این نمودار استفاده می شود.

برای نمونه تغییرها در بازار های مالی، قیمت طلا، نفت، سهام و… را با این نمودار نشان می دهند.

نمودار تصویری

نمودار تصویری که در آن از یک نماد مثل آدمک برای نشان دادن مقدار خاصی استفاده می شود؛ برای نشان دادن مقادیر که معمولا نیاز به تقریب زدن اعداد دارد به کار می رود.

در این نمودار به راحتی می توان نسبت موضوعات را مشاهده نمود.

نمودار دایره‌ای

از نمودار دایره‌ای هم برای نشان دادن درصد یا سهم هر یک از اجزای یک موضوع مشخص استفاده می شود. از این نمودار بیشتر از سایر نمودارها در تستها استفاده شده است.

خوب حالا یه نکته جالب و اون اینکه از این مبحث توی کنکور سراسری تجربی سال ۹۳ یه تست اومده، ببینیدش حتما:
آمار-نمودار دایره-کنکور تجربی

از لینک زیر می توانید بخش اول فیلم آموزش آمار که کل آمار ریاضی پایه هفتم را پوشش می دهد دانلود کنید.
لینک مستقیم دانلود فیلم آموزش آمار پایه هفتم

شاخصهای آماری

دامنه تغییرات چیست؟

دامنه تغییرات: به فاصله یا اختلاف میان کوچکترین و بزرگترین مقدار داده ها گفته می شود. مثلا اگر کمترین نمره درس ریاضی یک کلاس ۱۲ و بیشترین نمره اخذ شده در آن درس ۱۹ باشد دامنه تغییرات نمرات دانش آموزان ۷ خواهد بود.
اگر داده های جمع آوری شده زیاد و پراکنده باشند. برای اینکه بتوانیم آسان تر و بهتر نتیجه بگیریم. داده ها را متناسب با موضوع آماری دسته بندی و سازماندهی می کنیم.
به عنوان نمونه برای دسته بندی سطح دانش آموزان می توان ۴ سطح ضعیف، متوسط، خوب و قوی را در نظر گرفت . سپس برای هر یک، محدوده ای از معدل دانش آموزان را در نظر گرفت.

مثلا معدل های زیر ۱۴ را در دسته دانش آموزان ضعیف ومعدل بین ۱۴ تا ۱۶ را دسته دانش آموزان متوسط نامید. معدلهای بین ۱۶ تا ۱۸ را در دسته دانش آموزان خوب و معدل بالای ۱۸ را در دسته دانش آموزان قوی قرار داد. در این جا عدد ابتدای هر بازه را به عنوان جزئی از همان دسته در نظر گرفته ایم.

فراوانی داده ها چیست؟

فراوانی: تعداد داده های هر دسته را فراوانی می گویند. مثلا اگر ۵ دانش آموز با معدل بالای ۱۸ داشته باشیم. فراوانی دسته دانش آموزان قوی ۵ خواهد بود.
نکته: مجموع فراوانی دسته ها باید با تعداد کل جامعه آماری برابر باشد. یعنی اگر کلاسی ۲۰ نفر دانش آموز دارد. مجموع فراوانی تعداد دانش آموزان ۴ دسته مورد نظر ۲۰ خواهد بود.
نکته: از علامت نامساوی به همراه یک خط در زیر آن برای نشان دادن حالت نامساوی یا مساوی استفاده می شود. مثلا برای نشان دادن کوچکتر یا مساوی که به معنای تمام داده های کوچکتر یا مساوی مورد نظر است؛ استفاده می شود.

طول دسته چگونه به دست می آید؟

طول دسته: اختلاف بیشترین و کمترین مقدار داده های یک دسته است. مثلا در مثال دسته بندی دانش آموزان بر اساس معدل، طول دسته دانش آموزان ضعیف ۱۴ و طول دسته دانش آموزان قوی ۲ است.
تذکر: معمولا دسته بندی داده ها در دسته هایی با طول های مساوی انجام می شود. یعنی کمتر پیش می آید که طول یک دسته ۱۴ و طول دسته دیگر ۲ باشد.
در تمرین ۳ صفحه ۱۲۳ کتاب ریاضی هشتم این موضوع بررسی شده است. در این تمرین به دلیل صفر بودن فراوانی دسته های ۰-۴ و ۱۶-۲۰ بهتر است این دسته ها حذف شوند. بازه ۴ تا ۱۶ به جای ۳ دسته به مثلا ۴ دسته با طول ۳ تقسیم بندی شود. ۴ تا ۷، ۷ تا ۱۰، ۱۰ تا ۱۳ و ۱۳ تا ۱۶.

میانگین چگونه محاسبه می شود؟

میانگین: میانگین تعدادی دادهٔ عددی، از تقسیم مجموع آنها بر تعدادشان به دست می آید.
حالا وقت آن است که در قالب یک فیلم کوتاه و مفید آموزشی را مشاهده کنید. در این فیلم با نمودارخوانی، تکمیل جدول فراوانی با استفاده از مفاهیم مرکز دسته، حدود دسته، فراوانی و تعیین میانگین به کمک جدول فراوانی آموزش داده می شود. امیدوارم از این فیلم هم لذت ببرید.

نکته: مجموع اختلاف داده های بالای میانگین با مجموع اختلاف داده های زیر میانگین همواره برابر است.
تمرین ۴ صفحه ۱۲۴: میانگین نمره های زیر را به دست آورید.
برای به دست آوردن میانگین می توانیم همه نمرات را با هم جمع کنیم. سپس بر تعداد نمرات تقسیم کنیم.

روش سریع محاسبه میانگین

راه دوم: با توجه به داده ها به نظر می رسد میانگین حدود ۱۳ است. پس با فرض ۱۳ به عنوان میانگین تفاضل سایر اعداد با ۱۳ را به دست آورده و بر تعداد اعداد تقسیم می کنیم. این مقدار را با عدد ۱۳ جمع می کنیم.
۱۱-۱۳=-۲
۱۲-۱۳=-۱
۱۴-۱۳=۱
۱۵-۱۳=۲
-۲+۲×(-۱)+۲×۱+۲=۰

خب چون یک عدد ۱۱، دو تا ۱۲ و دو تا ۱۴ و یک ۱۵ داریم مجموع اختلاف از میانگین حدس زده شده توسط ما صفر می باشد و لذا میانگین همان عدد ۱۳ خواهد بود.
نکته کلیدی: برای محاسبه میانگین داده ها می توان به جای جمع تک داده ها و سپس تقسیم بر تعداد داده ها، مرکز هر دسته را به دست آورد. سپس با ضرب کردن تعداد هر دسته در مرکز دسته مقدار تقریبی میانگین را به دست آورد.

در صورتی که میانگین هر دسته با مرکز آن برابر باشد و فراوانی دسته ها نیز یکسان باشد. میانگین به دست آمده از این روش با میانگین واقعی برابر خواهد بود.
گاهی اوقات میانگین تعدادی از داده ها فقط به دلیل کم یا زیاد بودن تعداد محدودی از داده ها تغییر زیادی می کند. در این موارد این اطلاعات را که به آن ها داده های پرت مسئله می گویند حذف می شود.

مثال: میانگین نمره های ریاضی دانش آموزان یک کلاس ۳۰ نفره ۲۵ / ۱۷ شده است. یکی از دانش آموزان در این امتحان نمرهٔ ۵/ ۳ گرفته است؛ در حالی که بقیهٔ آنها نمرهٔ بالای ۱۵ گرفته اند. با حذف این نمره میانگین نمرات کلاس چند می شود؟

برای دانلود فیلم با کیفیت مطلوب تر آمار هشتم کلیک کنید.

بخش ویژه دانش آموزان حضوری:

دانلود خلاصه درس فصل هشتم (آمار و احتمال) ریاضی هشتم