بردار و مختصات

بردار چیست؟

بردار یک فلش یا پیکان است که ابتدای آن نقطه شروع حرکت شماست. انتهای آن که نوک فلش یا پیکان قرار می گیرد. انتهای حرکت شما را نشان می دهد.
تعریف کتابی: پاره خطی جهت دار!

بردار جابجایی

حتی اگر به صورت خط راست حرکت نکنید. خط راست جهت داری که ابتدا و انتهای مسیر را به هم وصل می کند . نشان دهنده بردار جابجایی می باشد.
در رياضی به پاره خط جهت دار بردار می گوييم.
یاداوری: پاره خط ، خطی است که دو سر آن بسته باشد. در نتیجه طول آن محدود است.

شباهت و تفاوت مختصات بردار و مختصات نقطه

مختصات یک نقطه چگونه مشخص می شود؟

برای مشخص کردن موقعیت یک نقطه در صفحه باید بدانیم چه موقعیت افقی و عمودی در صفحه دارد.
برای مولفه افقی یا طول یک نقطه باید ببینیم نقطه داده شده، چند واحد در سمت راست یا چپ مبدا قرار گرفته است. اگر در سمت چپ بود. علامت مولفه افقی منفی می شود.
برای مولفه عمودی یا عرض یک نقطه باید ببینیم نقطه داده شده، چند واحد در سمت بالا یا پایین مبدا قرار گرفته است. اگر نقطه پایین تر از مبدا بود. علامت مولفه عمودی یا همان عرض نقطه منفی است.
پس برای مشخص شدن مختصات یک نقطه موقعیت آن را نسبت به مبدا مختصات باید بدانیم. طول نقطه در بالا و عرض نقطه در پایین کروشه ای که برای بیان مختصات استفاده می شود؛ قرار می گیرد.

مختصات یک بردار چگونه به دست می آید؟

در بیان مختصات بردار ما به ابتدای آن توجه می کنیم. میزان حرکت افقی و عمودی نسبت به ابتدای آن نشان دهنده مختصات بردار است. مثلا اگر نسبت به ابتدای آن، دو واحد به سمت راست و سه واحد به سمت پایین حرکت کرده باشیم . طول بردار 2 و عرض آن 3- خواهد بود.

آیا مفهوم مختصات را به خوبی متوجه شده اید؟

برای اینکه مطمئن شویم مفهوم مختصات بردار و مختصات نقطه را به خوبی درک کرده اید. برداری را رسم کنید که در ناحیه چهارم دستگاه مختصات بوده و طول آن سه و عرض آن یک باشد.
برخی دانش آموزان می گویند در ناحیه چهارم که عرض منفی است. پس چگونه برداری با عرض منفی در این ناحیه رسم کنیم؟
پاسخ شما به این دوستان چیست؟
پاسخ فقط در یک نکته ساده نهفته است. مختصات بردار نسبت به ابتدای آن تعیین می شود نه مبدا مختصات.

مختصات بردار - بردای با عرض مثبت در ناحیه چهارم
مختصات بردار – بردای با عرض مثبت در ناحیه چهارم

ویژگی های بردارهای مساوی چیست؟

دو بردار که راستا، جهت و اندازه آنها برابر باشد با هم مساوی اند.

تفاوت راستا و جهت در چیست؟

برای درک بهتر این تفاوت اجازه دهید مثالی بزنیم. بردار افقی را در نظر بگیرید که پیکان سر آن به سمت راست باشد. افقی بودن راستای آن است. نوک پیکان که از چپ به راست است ؛ جهت آن را نشان می دهد.
در سال نهم می آموزید که راستا همان شیب خط است؛ که به زاویه خط با محور افقی ارتباط دارد. اگر زاویه بین خط و محور افقی در مورد هر دو خط یکسان باشد. آن دو خط باهم موازی هستند.

چه زمانی بردارها هم راستا یا موازی هستند؟

به بردارهایی که هم راستا هستند موازی گفته می شود. تعریف ساده تر این است که اگر بردارها را امتداد دهیم. هیچ گاه همدیگر را قطع نمی کنند. (مگر اینکه کاملا بتوانند همدیگر را پوشش دهند).

بردارهای مساوی و قرینه نمونه ای از بردارهای موازی هستند.

بیان اول) اگر دو بردار به ازای هر یک واحدی که در راستای طول حرکت می شود، به یک مقدار در راستای عرض حرکت را نشان دهند دو بردار هم راستا هستند.
بیان دوم) اگر نسبت عرض به طول دو بردار با هم مساوی باشد. آن دو هم راستا یا موازی هستند.
بیان سوم) اگر نسبت طول دو بردار با نسبت عرض دو بردار برابر باشد. آنها موازی هستند.

ویژگی های بردارهای قرینه

بردار های موازی و قرینه

دو برداری قرينه يکديگرند که هم راستا و هم اندازه باشند. ولی جهت هايشان عکس يکديگر باشد. در شکل بالا سه جفت بردار قرینه دیده می شود.

دقت دارید که در قرینه بودن دو بردار ، حتما دو بردار موازی هم هستند. اندازه آن ها یکسان است. فقط جهت آن ها متفاوت است.
طول و عرض دو بردار که با هم قرینه هستند ، قرینه یکدیگر است.

بیان حرکت های جهت دار – روش ساده یافتن مختصات بردار حرکت (جابجایی)

برای به دست آوردن مختصات بردار کافی است انتهای آن را منهای ابتدای آن کنید.
زمانی که شما با یک شکل مواجه هستید. یا به شما چند حرکت جهت دار را می دهند. مختصات حرکت را از روی شکل می توانید به دست آورید. برای این کار دوگام زیر را بردارید.

ببینید چقدر انتهای آن نسبت به ابتدایش در سمت راست یا چپ قرار گرفته است. این مقدار مختصه طول آن را نشان می دهد.

میزان بالا یا پایین تر قرار گرفتن انتها نسبت به ابتدای بردارمولفه عرض آن را بیان می کند.
مثلا اگر سه واحد به سمت راست و دو واحد بالا رفته باشیم. طول  سه و عرض آن دو خواهد بود.

ضرب عدد در بردار

از ضرب یک عدد غیر صفر در یک بردار، برداری به دست می آید که با اولی همراستا (موازی) است.
اگر عدد ضرب شده مثبت باشد، دو بردار هم جهت هستند. در غیر این صورت جهتشان مخالف هم است.
در ضرب عدد در بردار دقت کنید که این عدد هم در طول و هم در عرض ضرب می شود.

بردارهای واحد طول و عرض i و j و نیمسازهای نواحی مختصات

بردار i به عنوان بردار واحد طول و بردار j به عنوان بردار واحد عرض شناخته می شود.
منظور از بردار واحد ، برداری است که اندازه آن یک واحد است.
اگر ۲i-۴j داشته باشیم. یعنی طول آن ۲ و عرضش ۴- است.
اگر یکی از مولفه های i یا j وجود نداشته باشد. به ترتیب یعنی طول یا عرض آن صفر است. مثلا ۲i برداری است به طول ۲ و عرض صفر که موازی محور طول ها می باشد.
نکته: گاهی به جای “بردار واحد” از عبارت “بردار یکه” استفاده می شود.

بردارهای موازی محورهای مختصات

نکته: بردارهای موازی محورهای مختصات حتما دارای یک مولفه طولی یا عرضی برابر صفر هستند.

(موازی محور طول ها هستند. اگر عرض آن ها صفر باشد و موازی محور عرض ها هستند اگر طول آن ها صفر باشد.)
در نیمساز ناحیه اول و سوم طول و عرض با هم برابر هستند.

در نیمساز ناحیه دوم و چهارم طول و عرض قرینه هم می باشند.
مثال) اگر نقطه ای به طول x-۳ و عرض ۲x+۵ روی نیمساز ناحیه دوم و چهارم قرار داشته باشد. مختصات آن را بیابید.
راهنمایی: با توجه به این که در نیمساز ناحیه دوم و چهارم طول و عرض هر نقطه قرینه همدیگر هستند. کافی است طول را برابر قرینه عرض قرار دهید. سپس معادله به دست آمده را حل کنید.

برای دانلود فیلم آموزش مفاهیم این بخش اینجا کلیک کنید.

تذکر ساده) منظور از نوشتن مختصات در کتب ریاضی هفتم و هشتم، استفاده از کروشه است؛ که در فسمت بالای آن طول و در قسمت پایین عرض را می نویسیم.

پس هرگاه در مسأله ای از i و j استفاده شده بود. کافی است ضریب i را به عنوان طول و ضریب j را به عنوان عرض داخل کروشه قرار دهیم؛ تا مختصات بردار مدنظر را به دست آوریم.

چگونه معادله های برداری را حل کنیم؟

معادله هایی هستند که در آنها مجهول یک بردار یا یک بخش از مختصات است. دو حالت کلی می توان برای چنین معادله هایی در نظر گرفت:
الف)هدف از حل معادله یافتن یک بردار است.

در این صورت کافی است با این بردار مشابه یک مجهول عادی رفتار کنیم. برای حل معادله از آنچه در مورد جمع دو بردار و ضرب عدد در بردار آموخته ایم؛ در کنار روشهای عادی حل معادله استفاده کنیم.

حل یک نمونه معادله برداری ازین دسته را در زیر مشاهده می کنید.

بردار و حل معادله برداری

ب) هدف از حل معادله یافتن مجهولاتی است که در مولفه طولی یا عرضی معادله دیده می شوند. (هدف یافتن عدد است نه مختصات)
همان طور که گفته شد. یک حرکت جهتدار دارای طول و عرض است. (یا همان مولفه طولی و مولفه عرضی). پس برای حل معادله برداری، بهتر است رابطه میان طول آنها و رابطه بین عرضهایشان را به صورت جداگانه بنویسیم.

با این کار معادله برداری به یک یا دو معادله عددی تبدیل می شود. با حل این معادله یا معادله های عددی می توانیم خواسته های مسأله را بیابیم.

حل معادله برداری برای یافتن یک متغیر عددی

جزوه فصل پنجم ریاضی هشتم + 16 مثال حل شده

برای تکمیل مباحث مطرح شده در سایت جزوه  فصل پنجم ریاضی هشتم با 16 مثال حل شده بارگذاری شده است. جزوه بردار و مختصات مهندس باغدار شامل نکات و مفاهیم فصل پنجم ریاضی هشتم از جمله موارد زیر است:

مفهوم مختصات نقطه؛

نقاط روی محور طول‌ها و عرض ها؛

نقاط روی نیمساز ناحیه اول و سوم؛

نقاط روی نیمساز ناحیه دوم و چهارم؛

قرینه نقطه نسبت به محور طول‌ها و عرض ها؛

قرینه نقطه نسبت به نیمسازهای دستگاه مختصات؛

جزوه فصل پنجم ریاضی هشتم – بردار و مختصات +16 تمرین حل شده

محاسبه مساحت مثلث ها در دستگاه مختصات؛

مفهوم بردار؛

بردارهای موازی محور طول‌‌ها (عمود بر محور عرض‌ها)؛

بردارهای موازی محور عرض‌ها (عمود بر محور طول‌ها)؛

بردارهای موازی نیمساز ناحیه اول و سوم؛

بردارهای موازی نیمساز ناحیه دوم و چهارم؛

بردارهای موازی، مساوی و قرینه

جمع بردارها در حالتهای مختلف

تجزیه بردار

حل معادلات برداری

با پرداخت هزینه این جزوه از لینک زیر رمز فایل دانلود شده را دریافت کنید.

پرداخت هزینه جزوه فصل پنجم ریاضی هشتم و دریافت رمز

برای مطالعه سایر مباحث از لینکهای زیر استفاده کنید.

ورود به صفحه ریاضی هشتم

ورود به صفحه ریاضی نهم

تمرینات ویژه دانش آموزان عزیزم
تمرین سری اول از فصل پنجم

5 Replies to “بردار و مختصات”

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *