هندسه و استدلال

آموزش هندسه و استدلال (پایه های هفتم، هشتم و نهم)

آموزش هندسه بخشی از آموزش ریاضیات است. در متوسطه اول بیشترین تمرکز در هندسه بر روی شکل های مثلث، چهارضلعی و دایره است.
بخش مهمی از آموزش هندسه را اثبات قضایای مربوط به اشکال هندسی تشکیل می دهند.

تشابه اشکال هندسی به ویژه مثلثها ، هم نهشتی و استدلال ، بخشهای مهم و کلیدی هستند که در ریاضی نهم با آن آشنا می شوید.
مباحثی که با عنوان هندسه و استدلال در دوره متوسطه اول ارائه می شوند شامل فصول زیر هستند:

کتاب ریاضی هفتم:

فصل چهارم- هندسه و استدلال، فصل ششم- سطح و حجم؛

کتاب ریاضی هشتم:

فصل سوم- چندضلعی ها، فصل ششم- مثلث، فصل نهم- دایره؛
کتاب ریاضی نهم:

فصل سوم- هندسه و استدلال در هندسه، فصل هشتم- حجم و سطح؛

آموزش هندسه – چند ضلعی ها

در صفحه آموزش هندسه مهندس باغدار سعی شده است همه موارد مرتبط با آموزش هندسه در پایه های هشتم و نهم پوشش داده شود.

چند ضلعی چیست؟ به چه شکلی چند ضلعی گفته می شود؟

در صفحه به هر خطِّ شکسته بسته، چندضلعی گفته می شود به شرط آنکه ضلع ها يکديگر را قطع نکنند؛ مگر در رأس ها که دو ضلع به هم می رسند.

چند ضلعی منتظم چیست؟

اگر در يک چندضلعی همه ضلع ها با هم و همه زاويه ها با هم مساوی باشند، می گوييم آن
چندضلعی ، منتظم است.

چه شکل هایی چند ضلعی نیستند؟

در موارد زیر شکل چند ضلعی نیست:

شکل از شامل انحنا باشد.

شکل خودش را قطع کرده باشد.

شکل بسته نباشد.

مرکز تقارن چیست؟ چه شکلهای مرکز تقارن دارند؟

نقطه ای که اگر شکل را حول آن 180 درجه دوران دهیم. شکل روی خودش بیفتد مرکز تقارن شکل است.

چگونه می توان  محورهای تقارن و مرکز تقارن را مشخص کرد؟

محورهای تقارن خطوطی هستند که با تا کردن شکل روی آنها، دو قسمت کاملا برهم منطبق می شوند.

چگونه می تواند تشخیص داد نقطه ای مرکز تقارن شکل نیست؟

پاسخ تمامی پرسشهای بالا در فیلم آموزشی زیر:
دانلود فیلم آموزشی هندسه – چندضلعی ها -قسمت اول

چند ضلعی محدب چیست؟

چند ضلعی ای که زاویه های آن کوچک تر از ۱۸۰ درجه باشد، چند ضلعی محدّب (کوژ) است. در چندضلعی های محدب تمام قطرها داخل شکل قرار می گیرند.

چند ضلعی محدب حداکثر چند زاویه تند دارد؟

پاسخ این پرسش را با توجه به مفهوم زاویه خارجی می توانید بدهید. هر چندضلعی محدب حداکثر سه زاویه تند دارد.

چندضلعی مقعر چیست؟ چگونه مقعر یا محدب بودن یک چندضلعی مشخص می شود؟

به چندضلعی ای که دست کم یک زاویه آن بزرگ تر از  ۱۸۰ درجه باشد ، چندضلعی مقعر (کاو) گفته می شود.

چهارضلعی ای که ضلع های روبه روی آن دو به دو با هم موازی اند، متوازی الاضلاع نام دارد.

انواع چهارضلعی‌های محدب

مهم ترین انواع چهارضلعی های محدب عبارتند از:

متوازی الاضلاع؛

مستطیل؛

لوزی؛

مربع.

کایت و ذوزنقه نیز دو چهارضلعی نسبتا مهم در سوالات تستی می باشند.

خواص متوازی الاضلاع

در هر متوازی الاضلاع، زاویه های رو به رو با هم و ضلع های رو به رو نیز با هم برابرند.
در هر متوازی الاضلاع قطرها، یکدیگر را نصف می کنند.
در هر متوازی الاضلاع ، زاویه های مجاور مکمل هستند.

مستطیل متوازی الاضلاعی است که زاویه های قائمه دارد.

نکته) هر چهارضلعی که زاویه های داخلی آن قائم باشد، مستطیل است.
ویژگی خاص مستطیل: در مستطیل قطرها با هم برابرند

مربع متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع مساوی و زاویه های قائمه دارد. 

ویژگی خاص مربع:در مربع قطرها با هم برابرند و عمود منصف همدیگرند.

لوزی متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع آن برابرند.

ویژگی خاص لوزی: در لوزی قطرها بر هم عمودند.

نتیجه: مربع یک لوزی است که زاویه های آن ۹۰ درجه است.

مجموع زاویه های داخلی هر چهارضلعی ° ۳۶۰ می شود.

ذوزنقه چهارضلعی است که دو ضلع موازی داشته باشد.

خودتان را محک بزنید. تست ۶۸ از آزمون ۴ دیماه ۱۳۹۴ قلمچی برای دوستان پایه هشتم :
آموزش هندسه -تست از چهارضلعی ها

کمی فکر کنید و جواب خودتان را با راه حل ارائه شده مقایسه کنید.
.
.
.
.
.
.
پاسخ ارائه شده در دفترچه پاسخنامه قلمچی:
آموزش هندسه - پاسخ تست آزمون قلمچی

آموزش هندسه – مبحث زاویه های داخلی و خارجی

مجموع زاویه های داخلی یک n ضلعی چند درجه است؟

به کمک شکل زیر به سادگی رابطه مربوط به مجموع زاویه های داخلی یک چندضلعی دلخواه به دست می آید.


از تعداد اضلاع دو واحد کم کنید. حاصل را در ۱۸۰ ضرب کنید. عدد به دست آمده، مجموع زاویه های داخلی است.
در یک چند ضلعی منتظم ، برای یافتن اندازه هر زاویه داخلی کافی است مجموع زوایای داخلی را بر تعداد زوایا تقسیم کنیم.

مجموع زاویه های خارجی یک n ضلعی محدب چند درجه است؟

مجموع زاویه های خارجی یک n ضلعی محدب ۳۶۰ درجه است.
برای افزایش تسلط شما تمرینی از کتاب ریاضی تکمیلی پایه هشتم، ویژه مدارس استعدادهای درخشان، را بررسی می کنیم.
مجموع زاویه ها در ستاره از کتاب ریاضی تکمیلی هشتم
برای اولین شکل از سمت چپ، مجموع زاویه های خواسته شده با روش زیر به سادگی ۱۸۰ درجه به دست می آید.
مجموع زاویه ها در ستاره پنج پر
با روشی مشابه ، مجموع زاویه ها در دو شکل دیگر نیز به دست می آید.

بیشتر مباحث این جزوه در سطح کتاب درسی است. این جزوه شامل مباحث زیر است:

چندضلعی ها؛

چهارضلعی های مهم؛

زاویه های داخلی و زاویه های خارجی؛

قضیه خطوط موازی و عکس قضیه خطوط موازی؛

کاشی کاری.

تعدادی از نکات و مثالها مباحث تکمیلی را تا حدی پوشش می دهند.

دانلود خلاصه درس چندضلعی ها – فصل سوم ریاضی هشتم – 22 مثال حل نشده

پرداخت هزینه جزوه چند ضلعی را با کلیک روی لینک زیر انجام پذیر است.

لینک پرداخت هزینه خلاصه درس چندضلعی ها – بدون حل مثالها

پس از واریز وجه، رمز فایل برای شما پیامک می شود. به منظور تسریع در دریافت رمز، می توانید اطلاعات واریز را به شماره 09356816738 پیامک کنید.

جزوه کلاس درس مهندس باغدار با 22 مثال حل شده در ادامه برای دانلود قرار داده شده است. این جزوه شامل حل تمام مثالهای جزوه کلاسی است.

جزوه فصل چندضلعی های مهندس باغدار با حل 22 مثال

پرداخت هزینه جزوه چند ضلعی را با کلیک روی لینک زیر انجام پذیر است.

لینک پرداخت هزینه جزوه با همراه با مثالهای حل شده آن

آموزش هندسه –  مثلث قائم الزاویه و رابطه فیثاغورس

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یک زاویه ۹۰ درجه دارد.
به ضلع روبروی این زاویه وتر گقته می شود. وتر بزرگترین ضلع مثلث قائم الزاویه است.
با توجه به این که مجموع زاویه های یک مثلث ۱۸۰ درجه است. لذا دو زاویه دیگر مثلث قائم الزاویه متمم هم هستند.
رابطه ميان مجذور (مربع) اندازه ضلع های مثلث قائم الزاويه، به رابطه فيثاغورس معروف است.

اين رابطه بيان می کند که در هر مثلث قائم الزاويه، مجذور وتر با مجموع مجذورهای دو ضلع ديگر برابر است.

a2=b2+c2

عکس اين رابطه هم درست است؛ يعنی، اگر در مثلثی مجذور يک ضلع با مجموع مجذورهای دو ضلع ديگر آن برابر شد، آن مثلث قائم الزاويه است.

هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه

در ویدئوی زیر با حل یک مثال مشابه تمرینات کتاب درسی کاربرد رابطه فیثاغورس آموزش داده می شود:

دو حالت ديگر برای هم نهشتیِ دو مثلث قائم الزاويه:

برابری وتر و يک ضلع يا به اختصار (و ض) :چون طبق رابطه فیثاغورس ضلع سوم دو مثلث برابر خواهد بود عملا حالت ساده شده (ض ض ض) است.

برابری وتر و يک زاويه تند يا به اختصار (و ز): چون مجموع زاویه های داخلی ۱۸۰ درجه است پس زاویه دیگر مجاور وتر در دو مثلث برابر هستند و این حالت حالت خاص زض ز است.

نکات مهم در مثلث قائم الزاویه:

اگر یک زاویه ۳۰ درجه در آن وجود داشته باشد، ضلع مقابل به زاویه ۳۰ درجه نصف وتر است.

اگر یک زاویه ۴۵ درجه در آن وجود داشته باشد، مثلث متساوی الساقین خواهد بود و وتر رادیکال دو برابر ضلع زاویه قائمه خواهد بود.
بخشی از جزوه مثلث و رابطه فیثاغورس مهندس رضا باغدار
برای تسلط بیشتر بر مفاهیم این فصل تمریناتی از کتاب ریاضی هشتم تکمیلی سمپاد به همراه حل آنها را در زیر می توانید دنبال کنید.

اثبات از ریاضی تکمیلی هشتم (تیزهوشان)

اما پاسخ تمرین بالا (لطفا بعد از اینکه تلاش کافی برای حل انجام دادید به سراغ پاسخ بیایید.)

ابتدا اندازه اضلاع دو مثلث را می یابیم.

یافتن اندازه اضلاع – پاسخ سوالات ریاضی تکمیلی هشتم

با توجه به شکل و اندازه های به دست آمده می توان به سادگی زاویه ها را به دست آورد.

پاسخ سوالی از ریاضی تکمیلی هشتم

یکی از تمرینات بسیار زیبای این فصل در کتاب ریاضی هشتم، مساله کفشدوزک است. این تمرین به صورت زیر است:

مساله کفشدوزک ریاضی هشتم سمپاد

برای حل مساله کفشدوزک کافی است شما گسترده مکعبی را در نظر بگیرید و سپس بخشی از آن را که قرار است کفشدوزک از آن عبور کند با یک خط راست به هم وصل کنید. طول این خط راست کمترین مسافتی است که کفشدوزک روی دیوار و سقف طی خواهد کرد. یه شکل و محاسبه زیر توجه کنید:

پاسخ مساله کفشدوزک از ریاضی تکمیلی هشتم

تمرینات مثلث قائم الزاویه (فصل ششم ریاضی هشتم) ویژه دانش آموزان کلاس تکمیلی – زمستان 97

تمرینات سری اول فصل ششم – رابطه فیثاغورس و مثلث قائم الزاویه

خلاصه درس بخش دوم از مثلث قائم الزاویه و رابطه فیثاغورس

آموزش هندسه – مبحث دایره و زاویه محاطی و مرکزی

ورود به صفحه دایره

آموزش هندسه – مبحث استدلال – هم نهشتی

استدلال و اثبات در هندسه

استدلال و اثبات در هندسه

استدلال یعنی دلیل آوردن که معمولا برای اثبات موضوعی یا یافتن چیزی که مجهول و نامعلوم است، به کار می رود.
مفهوم استدلال در هندسه و ریاضیات با دلیل آوردن های روزانه ما اندکی متفاوت است.
یک استدلال ریاضی یا هندسی در صورت مهیا بودن فرضیات همیشه درست است.
می توان ثابت کرد قطرهای مستطیل باهم برابرند. برای این کار کافی است هم نهشتی دو مثلث که هریک شامل یکی از قطرهای مستطیل است را اثبات کرد. (ض ز ض)
اما مواردی شبیه این که ممکن است شما با دیدن چند مثلث که ارتفاع آن ها درون مثلث قرار گرفته است بگویید همیشه ارتفاع مثلث درون مثلث قرار می گیرد. یک استدلال ریاضی نیست.

آیا ارتقاع مثلث همیشه درون آن قرار می گیرد؟(استدالال نادرست)

آیا ارتقاع مثلث همیشه درون آن قرار می گیرد؟(استدالال نادرست)

همان طور که در مثلث های بالا دیدید ارتفاع درون مثلث قرار گرفت.
آیا می توان نتیجه گرفت همیشه ارتفاع درون مثلث قرار می گیرد؟
اگر شما یک مثلث با زاویه باز رسم کنید می بینید که ارتفاع در خارج مثلث قرار می گیرد.
پس می توان فهمید که این استدلال که چون برای چند مثلث ارتفاع درون شکل قرار گرفته است، پس همیشه ارتفاع درون مثلث است، اشتباه می باشد.
نتیجه: به تشخیصی که از طریق شهود به دست می آید همیشه نمی توان به عنوان یک استدلال نگاه کرد.

تفاوت فرض و حکم چیست؟ چگونه فرض و حکم را تشخیص دهیم؟

در یک مساله هندسی ، فرض آن چیزی است که داده شده است.
در اثبات برابری قطرهای یک مستطیل ، تساوی اضلاع روبرو، توازی اضلاع روبرو و قائمه بودن زاویه های چهارضلعی همگی فرض های مساله هستند چون گفته شده است چهارضلعی مستطیل است.
حکم ، چیزی است که قرار است آن را اثبات کنیم یا درستی آن را بررسی نماییم. در مثال قبل برابری قطرها حکم مساله است.
توجه کنید که در استدلال برای اثبات درستی حکم ، در خود فرضیات از حکم استفاده نکنید. این مورد از اشتباهات رایج دانش آموزان است.

مثال نقض چیست؟ کاربرد مثال نقض کجاست؟

ارائه مثالی برای نشان دادن نادرستی یک عبارت یا گزاره را مثال نقض می گویند. زیرا مثال نقض درستی یک عبارت را نقض می کند.

آموزش هندسه – مبحث اشکال متشابه و تشابه

در فصل هندسه و استدلال در کتاب ریاضی نهم تعریف اشکال متشابه به صورت زیر بیان می شود:
هندسه و تشابه

نسبت تشابه چیست؟

به نسبت دو ضلع متناظر در دو شکل متشابه، نسبت تشابه می گویند.
دو مثلث زیر متشابه هستند. زیرا نسبت اضلاع متناظر برابر است.
مثلث های متشابه
اضلاع AB ، AC و BC به ترتیب با FD ، FE و ED متناظر هستند. نسبت تشابه در این دو شکل ۱ به ۲ (بزرگ به کوچک) یا ۲ به یک است.
نتیجه) اگر اضلاع نظیر به نظیر متناسب باشند، آنگاه زاویه ها نظیر به نظیر برابرند.

چگونه نسبت تشابه را به دست آوریم؟

برای به دست آوردن نسبت تشابه، کافی است به زاویه ها دقت کنید. ابتدا زاویه های برابر (متناظر) دو شکل را مشخص کنید.

ضلع های رو به زاویه های برابر را اضلاع متناظر می گوییم. نسبت اضلاع متناظر را همان نسبت تشابه است.

دقت کنید که گاهی برای یافتن نسبت تشابه لازم است نسبت تک تک اضلاع را بنویسیم. سپس از حل معادله به دست آمده نسبت تشابه را به دست آوریم.

مثالی برای یافتن نسبت تشابه در مثلثها

مثلا در دو مثلث قائم الزاویه با زاویه های 30، 60 و 90 به صورت زیر عمل می کنیم.

ابتدا اضلاع رو به زاویه های 90 یا همان وتر و نیز زاویه های 30 و 60 درجه  را مشخص می کنیم. اگر اندازه دو ضلع رو به یک زاویه معلوم باشد. نسبت آن اندازه آن دو ضلع نسبت تشابه خواهد بود.

اگر در هر دو ضلع متناظر حداقل یک اندازه مجهول وجود داشته باشد. به صورت مستقیم نسبت تشابه به دست نمی آید. در اینجا لازم است از تساوی نسبت اضلاع متناظر و حل معادله نسبت تشابه را به دست آوریم.

مثالهای جزوه انتهای همین صفحه برای درک بهتر این موضوع را ببینید.

آیا هر دو مثلث متساوی الاضلاع متشابه اند؟ چرا؟

چون اضلاع متناسب هستند و تمام زوایا برابرند (شصت درجه) هر دو مثلث متساوی الاضلاع متشابه هستند. مثلا اگر اندازه ضلع یکی از مثلثها دو و اندازه ضلع دیگر یک باشد نسبت تشابه دو به یک است.

آیا هر دو n ضلعی منتظم با هم متشابه اند؟ چرا؟

بله. چون زوایای داخلی با هم نظیر به نظیر برابرند. از طرفی نسبت اضلاع نیز مقدار ثابتی است.

آیا هر دو مثلث متساوی الساقین متشابه اند؟ چرا؟

خیر. زیرا لزوما زوایه ها نظیر به نظیر برابر نیستند. مثلا زوایه های داخلی می تواند ۹۰ ، ۴۵ و ۴۵ باشد یا ۸۰ ، ۵۰ و ۵۰ که چون زوایای متناظر مساوی نیستند پس دو مثلث متشابه نیستند.

نکات تکمیلی تشابه دو مثلث

دانش آموزان پایه نهم در مدارس تیزهوشان این نکات را می آموزند.
دانش آموزان پایه یازدهم رشته تجربی در فصل دوم کتاب ریاضی 2 این نکات را می آموزند.

تشابه دو مثلث دلخواه

تشابه دو مثلث دلخواه

برای تشابه دو مثلث کافی است یکی از حالتهای زیر رخ دهد:
دو زاویه از مثلثها نظیر به نظیر برابر باشند. یعنی

اثبات تشابه دو مثلث با دو زاویه برابر

اثبات تشابه دو مثلث با دو زاویه برابر

دو ضلع نظیر به نظیر با یک نسبت تناسب متناسب باشند و زاویه بین آنها نیز برابر باشد.

تشابه دو مثلث با ضلع متناظر متناسب

تشابه دو مثلث با ضلع متناظر متناسب

اضلاع نظیر به نظیر با یک نسبت تناسب ، متناسب باشند.

تشابه دو مثلث با سه ضلع متناسب

تشابه دو مثلث با سه ضلع متناسب

با دانستن نکات تکمیلی این مبحث، به سراغ حل یک تست به ظاهر دشوار می رویم:
تستی تیزهوشانی از تشابه

جزوه خلاصه درس فصل هندسه و استدلال از ریاضی نهم- ویژه کلاس درس با 27 مثال حل نشده

برای پرداخت هزینه خلاصه درس فوق روی لینک زیر کلیک کنید. پس از واریز وجه، رمز فایل برای شما پیامک می شود.همچنین می توانید اطلاعات واریز را به شماره 09356816738 پیامک کنید.

لینک پرداخت هزینه جزوه کلاس هندسه واستدلال با 27 مثال حل نشده

دوستانی که نیاز به راهنمای حل مثالهای این جزوه دارند. جزوه زیر را که به حل مثالها پرداخته است. دانلود نمایند. این جزوه شامل تدریس مبحث استدلال، هم نهشتی و تشابه است.

جزوه خلاصه درس فصل هندسه و استدلال از ریاضی نهم- ویژه کلاس درس با 27 مثال حل شده

برای پرداخت هزینه جزوه کامل هندسه و استدلال، روی لینک زیر کلیک کنید.

لینک پرداخت هزینه جزوه هندسه و استدلال با 27 مثال حل شده

پس از واریز وجه، رمز فایل برای شما پیامک می شود. به منظور تسریع در دریافت رمز، می توانید اطلاعات واریز را به شماره 09356816738 پیامک کنید.

بازگشت به صفحه آموزش ریاضی پایه نهم

47 Replies to “هندسه و استدلال”

    • reza-baghdar Post author

      نه.چون زاویه هاشون لزوما با هم برابر نیستند.مثال نقضش دو تا لوزی با اضلاع ۱ رو در نظر بگیرید که زاویه تند یکی ۳۰ باشه و زاویه های دومی ۹۰ درجه

      Reply
  1. رياضي

    سلام اگر مثلث قائم الزوايه بزرگي داشته باشيم كه مربع ها از كوچيك به بزرگ كنار هم قرار گرفته باشند با ضلع ههاي به ترتيب
    ٤
    A
    6
    B
    و از ما جمع a + b رو خواسته باشه چجوري حل ميشه

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام
      در این حالت مربع بزرگه مساحتش با مساحت دو تا مربع دیگه برابره

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام. اگر نسبت تشابه بین دو مثلث قائم الزاویه داخل مثلث بزرگ را بنویسید می توانید AH را به دست آورید و به کمک آن مختصات نقطه B به دست آید. پاسخ گزینه 2 است.

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام.خیر. مثلا مستطیلی به طول 8 و عرض 2 با مربعی به ضلع 4 هم مساحت است. اما هم نهشت نیستند. دقت کنید اگر دو شکل همنهشت باشند هم مساحت هستند اما هم مساحت بودن دلیل بر همنهشتی نیست.

      Reply
    • طاهره سادات زنده دل

      اکر دو ضلع یک مثلث ۴ و ۹ باشد و ضلع دیگر ان یک عدد طبیعی باشد چتذ مثلث مختلف داریم؟

      Reply
      • reza-baghdar Post author

        نکته اصلی حل این جور مسائل توجه به این نکته است که مجموع اندازه دو ضلع یک مثلث همیشه از اندازه ضلع بزرگتر مثلث باید بزرگتر باشد. شما یک بار فرض کنید بزرگترین ضلعتان 9 است و بار دیگر فرض کنید ضلع سومی که بزرکتر از 9 باشد و اندازه آن را ندارید چه اندازه هایی می تواند داشته باشد.

        Reply

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *