اتحاد و تجزیه

اتحادهای جبری و تجزیه عبارتهای جبری

اتحادهای جبری و تجزیه عبارتهای جبری به همراه نامعادله های خطی، فصل پنجم ریاضی نهم را تشکیل می دهند.

تسلط بر اتحادهای جبری با توجه به گستردگی کاربرد آنها بسیار مهم است. اتحاد و تجزیه و در حقیقت کاربردهای اتحاد و تجزیه یکی از مباحث مهم ریاضی است. تستهای ترکیبی از اتحاد و تجزیه زیاد مطرح می شود.

اتحاد و تجزیه علاوه بر ریاضی نهم، در مقاطع بالاتر نیز بسیار کابردی است. حتی در انجام محاسبات حد و مشتق نیز کاربردهای اتحاد و تجزیه دیده می شود.

جزوه فصل پنجم ریاضی نهم ویژه تیزهوشان

برای استفاده بهتر از جزوه فصل پنجم ریاضی نهم، ابتدا مطالب این صفحه را به خوبی مطالعه کنید.

نکات اتحاد و تجزیه و نامعادله با حل 62 تست و تمرین در جزوه فصل پنجم ریاضی نهم مهندس باغدار

این جزوه شامل 62 تست و تمرین با پاسخنامه تشریحی از مباحث مختلف فصل پنجم است.

تستهایی از تشخیص یک جمله‌ای ها

 تعیین ضرایب در حاصل ضرب چندجمله ای ها

 اتحادها و کاربردهای آنها

 تجزیه عبارتهای جبری

شرایط تجزیه پذیری چندجمله ای درجه دوم

یافتن ریشه های چندجمله ای ها

 نامعادله های خطی و دو نکته تکمیلی برای نامعادله های قدر مطلقی

لینک پرداخت

در این جزوه سعی شده است غالب مباحث مطرح در کتاب ریاضی تکمیلی تیزهوشان نیز پوشش داده شود. اتحادهای خارج از کتاب درسی که در کتاب تکمیلی هم از آنها استفاده نشده است! جز مباحث این جزوه نمی باشد.

دانلود جزوه فصل پنجم ریاضی نهم ویژه تیزهوشان

عبارتهای جبری ریاضی نهم، ادامه مباحثی است که در ریاضی هفتم و هشتم در مورد متغیرها، جبر و معادله با آن آشنا شده اید.

در صورتی که بر روی این مفاهیم مسلط نیستید؛ بهتر است قبل از ورود به مطالب این بخش ، به صفحه جبر و معادله سایت مراجعه کنید.

ورود به صفحه جبر و معادله

برای استفاده بهتر از این جزوه، ابتدا مطالب این صفحه را به خوبی مطالعه کنید.

تک جمله ای چیست؟

درجه چند جمله ای چگونه مشخص می شود؟

یک جمله ای از حاصل ضرب یک عدد حقیقی در متغیر (یا متغیرهایی) با توان صحیح نامنفی به دست می آید.

از جمع و تفریق یک جمله ای ها چند جمله ای ها به دست می آیند.

درجه چند جمله ای نسبت به یک متغیر چگونه تعیین می شود؟

بزرگترین توان آن متغیر در چند جمله ای درجه آن چند جمله ای است.

درجه چندجمله ای نسبت به چند متغیر چگونه تعیین می شود؟

اگر درجه نسبت به دو یا چند متغیر خواسته شود؛ مجموع توانهای متغیرها در هر یک از تک جمله ای های آن چندجمله ای را به دست آورید. بزرگترین عدد به دست آمده، درجه چندجمله ای نسبت به آن متغیرها خواهد بود.
برای تسط بیشتر به مفهوم درجه چند جمله ای ویدئوی زیر را مشاهده کنید. 

نحوه تعیین ضریب یک جمله مشخص در حاصل ضرب چند جمله ای ها نیز آموزش داده می شود.

اتحاد چیست؟

اتحادهای جبری چیست؟

اگر تساوی دو عبارت جبری به ازای هر مقدار برای متغیرهایشان برقرار باشد؛ این تساوی اتحاد یا اتحاد جبری نامیده می شود.

اتحادهای جبری زیادی وجود دارند. اتحادهای ریاضی نهم در کتاب درسی تنها سه اتحاد زیر هستند.

اتحاد مربع دو جمله ای یا اتحاد مربع مجموع دو جمله و اتحاد مربع تفاضل دو جمله و تعمیم آن به مربع سه جمله ای؛
اتحاد مزدوج و
اتحاد جمله مشترک.

این اتحادها و کاربرد آنها در تستهای آزمونهای ورودی تیزهوشان بیشتر مطرح هستند. سایر اتحادهای جبری در مقاطع بالاتر آموزش داده می شوند. با تغییر کتب ریاضی در سالهای اخیر، از سایر اتحادهای جبری تا کنون تستی در آزمونهای تیزهوشان مطرح نشده است.

تفاوت اتحاد با معادله در چیست؟

تفاوت میان یک اتحاد جبری و یک معادله جبری در این است که:

اتحاد جبری به ازای همه مقادیر دامنه برقرار است. در صورتی که یک معادله جبری به ازای تعداد محدودی از اعضای دامنه (مجموعه جواب معادله) برقرار است.

دامنه چیست؟

به محدوده ای از متغیرها که مقدار عبارت جبری در آنها از نظر ریاضی با معنا باشد؛ دامنه گفته می شود. 

دامنه چند جمله ای ها:

دامنه چندجمله ای ها مجموعه اعداد حقیقی است.

دامنه عبارت رادیکالی چگونه تعیین می شود؟

دامنه رادیکال x اعداد حقیقی نامنفی است. در حقیقت عبارت زیر رادیکال با فرجه زوج نمی‌تواند منفی باشد. 

دامنه رادیکالهای با فرجه فرد نظیر ریشه سوم عبارتها، مجموعه اعداد حقیقی است.

دقت کنید این نکته صرفا نقش رادیکال را برای دامنه بررسی می کند. یعنی اگر زیر رادیکال کسر وجود داشته باشد؛ برای تعیین دامنه باید دامنه آن کسر نیز در نظر گرفته شود.

اتحادهای جبری مهم:

اتحاد مربع دو جمله ای – اولین اتحاد از اتحادهای جبری ریاضی نهم

اولین اتحادی که لازم است آن را بیاموزید؛ اتحاد مربع دو جمله ای است. مربع دو جمله ای می تواند مربوط به حالت جمع دو جمله یا تقاضل دو جمله باشد.

اتحاد مربع مجموع دو جمله و اتحاد مربع تفاضل دو جمله ای نیز در حقیقت همین اتحاد مربع دو جمله ای هستند.
در شکل زیر اثبات هندسی اتحاد مربع مجموع دو جمله ای را می بینید.

اتحاد مربع دو جمله ای با شکل
مساحت بزرگترین مربع شکل فوق به ضلع a+b برابر است با مساحت دو مربع و دو مستطیل درون آن.

اتحاد مربع دو جمله ای

همان طور که می بینید؛ مربع مجموع دو جمله برابر است با:

جمله اول به توان دو، به علاوه دو برابر اولی(یا همان جمله اول) در دومی (یا همان جمله دوم) به علاوه جمله دوم به توان دو.
برای حالتی که بین دو جمله علامت منفی وجود داشته باشد، با مربع تفاضل دو جمله ای مواجه هستیم. برای محاسبه طرف دوم اتحاد کافی است به صورت زیر عمل کنیم:

برای دانلود ویدئوی آموزشی کاربرد این اتحاد که پیشتر برای سایت قبلی آماده شده بود. می توانید به لینک زیر مراجعه کنید.
لینک دانلود اتحاد مربع دو جمله ای

مسائل مبحث اتحاد و تجزیه بسیار متنوع هستند و برای پاسخگویی به آنها لازم است کاملا به اتحاد مسلط باشید.

نکات کلیدی و کاربردهای اتحاد مربع دوجمله ای

نکات کلیدی اتحاد مربع دو جمله ای

در مورد اتحاد مربع دو جمله ای و نیز تجزیه عبارت های جبری برمبنای این اتحاد به موارد زیر دقت کنید.  طراحان تستها با توجه به این نکات تسلط شما را می سنجند:
اگر با سه جمله مواجه شدید که یک ضریب یک جمله آن زوج بود. حتما برای تجزیه، اتحاد دو جمله ای را مورد ارزیابی قرار دهید. اگر دو توان زوج نیز در یک سه جمله ای دیدید، برای تجزیه آن اتحاد مربع دوجمله ای را بررسی کنید.
در مواقعی که با دوجمله که یکی بدون رادیکال و دیگری شامل رادیکال است. عموماً ساده شده یک اتحاد مربع دو جمله ای است. این دو جمله از مجموع سه جمله به دست آمده است که دو تای آنها عدد گویا و دیگری گنگ بود است. در نتیجه به جای سه جمله تنها دو جمله را می بینید.
اتحاد و رادیکالها

کابرد اتحاد مربع دو جمله ای

نمونه ای از کاربرد اتحاد دوجمله ای را در تست کنکور زیر می بینید:
اتحاد مربع دوجمله ای برای محاسبه رادیکالها
اگر دو جمله شامل متغیرهای معکوس هم باشند، جمله شامل دوبرابر حاصل ضرب دو جمله به عدد ثابت منجر می شود.

تجزیه به کمک اتحاد مربع دوجمله ای 

نکته مهم دیگری که باید خیلی به آن توجه کنید؛ این است که اگر همه جملات عبارتی که می خواهید آن را تجزیه کنید؛ بر جمله مشترکی بخش پذیر باشند؛ از آن جمله فاکتور بگیرید؛ تا یک مرحله از تجزیه را به خوبی انجام داده باشید.

تجزیه به کمک فاکتورگیری و اتحاد مربع دو جمله

در نمونه بالا هر سه جمله به ۵xy بخش پذیر هستند. پس ابتدا باید از ۵xy فاکتور بگیرید.

حال به یک سه جمله ای رسیده اید که یک ضریب زوج دارد. تجزیه به کمک اتحاد مربع دوجمله ای را برای آن بررسی نمایید. با این کار به راحتی تجزیه به صورت کامل انجام می شود.
تمرین) ثابت کنید در هر متوازی الاضلاع مجموع مربع دو قطر برابر است با مجموع مربعات اضلاع.
.
.
.
.
.
راهنمایی: برای حل این سوال شما از رابطه فیثاغورس و اتحاد مربع دو جمله‌ای می‌توانید استفاده کنید.

در حالت خاص که متوازی الاضلاع به مستطیل تبدیل می‌شود. اثبات خیلی راحت تر انجام می شود.

اتحاد مربع سه جمله ای – تعمیم اتحاد مربع دوجمله ای

اتحاد مربع سه جمله ای تعمیم اتحاد مربع دوجمله ای

اتحاد مربع سه جمله ای تعمیم اتحاد مربع دوجمله ای

اتحاد مزدوج – دومین اتحاد از اتحادهای جبری نهم

یکی از تسهای تیزهوشانی سال ۹۵ قلمچی که ترکیبی از مبحث اتحاد مزدوج و قدرمطلق است؛ در زیر مشاهده می کنید.
تستی ترکیبی از مبحث قدرمطلق و اتحاد
از لینک دانلود زیر می توانید حل کامل این تست را مشاهده کنید.

در این فیلم، ابتدا راه حل ارائه شده در دفترچه پاسخ نامه توضیح داده می شود. سپس یک راه حل کوتاه تر برای دستیابی به پاسخ تست ارائه می گردد.
لینک دانلود رایگان فیلم آموزشی تست تیزهوشانی قلمچی با راه حلی کوتاه

اتحاد جمله مشترک – سومین اتحاد از اتحادهای جبری نهم

اتحاد جمله مشترک، از ضرب دو چند جمله ای به دست می آید که بخشی از آنها مشابه هم یا اصطلاحا مشترک هستند. بخش دیگر این دو چند جمله ای غیر یکسان یا به اصطلاح غیر مشترک است.

ساده ترین شکل نمایش این اتحاد به صورت زیر است.

اتحاد جمله مشترک همراه با یک مثال

اتحاد جمله مشترک همراه با یک مثال

x جمله مشترک و a و b جملات غیر مشترک هستند. 

با ویدوی آموزشی زیر، اتحاد جمله مشترک را بهتر بیاموزید.

 

نکته کلیدی اتحاد جمله مشترک

جمله مشترک و جملات غیر مشترک می‌توانند چندجمله ای باشند. این نکته در تستهای تیزهوشان و سوالات دشوار آزمونهای ریاضی کاربرد دارد.

تجزیه به کمک اتحاد جمله مشترک چگونه انجام می شود؟

برای تجزیه به کمک اتحاد جمله مشترک به موارد زیر دقت کنید:
عبارت دارای حداقل سه جمله است.
یک عبارت مربع کامل در بین این سه جمله وجود دارد. این جمله، مجذور جمله مشترک است.

عبارتی که در جمله مشترک ضرب شده است بیانگر مجموع دو جمله غیرمشترک است.
عبارتی که شامل جمله مشترک نیست. همان حاصل ضرب غیرمشترک‌ها را نشان می دهد.

غالبا جملات غیر مشترک در ریاضی نهم عدد ثابت داده می شوند.  در تستها و همچنین در مقاطع بالاتر غیرمشترکها به صورت چندجمله ای نیز دیده می شوند.

در تجزیه به کمک اتحاد جمله مشترک چگونه علامت جملات غیرمشترک را تشخیص دهیم؟

توجه به علامت حاصل ضرب هم علامت یا ناهم علامت بودن جملات غیرمشترک را نشان می دهد.
اگر حاصل ضرب مثبت بود یعنی دو جمله هم علامت هستند. اگر حاصل ضرب منفی بود یعنی دو جمله غیرمشترک ناهم علامت هستند یا به عبارتی یکی مثبت و دیگری منفی است.

اتحاد جمله مشترک با دو جمله ناهمعلامت

اتحاد جمله مشترک با دو جمله ناهم علامت

حال با توجه به مجموع دو جمله غیرمشترک که ضریب جمله مشترک شده است، می توانید با حدس و آزمایش جملات غیرمشترک را بیابید.

برای درک بهتر توضیحاتی که در مورد تجزیه به کمک اتحاد جمله مشترک گفتیم. فیلم زیر را ببینید.

 

 

اتحادهای جبری دهم و مقاطع بالاتر

به جز اتحاد مربع دوجمله ای، اتحاد مزدوج و اتحاد جمله مشترک، اتحادهای جبری دیگری نیز وجود دارند.

در سال دهم، با اتحادهای جبری زیر آشنا می شوید. 

اتحاد مجموع مکعبات دو جمله ( اتحاد چاق و لاغر)

اتحاد مجموع مکعبات دو جمله ای

اتحاد مجموع مکعبات دو جمله ای – اتحاد چاق و لاغر

اتحاد تفاضل مکعبات ( اتحاد چاق و لاغر)

اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله ای

اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله ای – اتحاد چاق و لاغر

اتحاد مکعب مجموع دو جمله ای

اتحاد مکعب دوجمله ای

اتحاد مکعب دوجمله ای و اثبات تصویری آن

سایر اتحادهای جبری، نظیر اتحاد اویلر و اتحاد لاگرانژ جز مباحث مقاطع بالاتر رشته های ریاضی و تجربی است. 

اتحاد لاگرانژ

اتحاد لاگرانژ

اتحاد لاگرانژ

ریشه یک چند جمله ای چیست؟

ریشه یک چند جمله ای چگونه به دست می آید؟

در کتاب ریاضی تکمیلی سمپاد دانش آموزان با مفهوم ریشه یک عبارت جبری آشنا می شوند.
منظور از ریشه یک چند جمله ای مقادیری برای متغیرهای آن چند جمله ای است که آن را صفر می کنند. یعنی جوابهای معادله ای را که از برابر صفر قرار دادن عبارت جبری به دست می آید ریشه های عبارت جبری گویند.
با این توضیحات به سراغ یکی از تمرینات بسیار زیبای کتاب ریاضی تکمیلی نهم می رویم.

برای حل این تمرین، عبارت درجه دوم را از ضرب دو عبارت درجه اول به دست آورید که ریشه های آن همین اعدادی باشد که در تمرین داده شده است. حل این تمرین و تمرینات دیگر در جزوه آموزشی اتحاد و تجزیه مهندس باغدار ارائه می شود. 

معادله درجه دوم و روش دلتا – تکمیلی ریاضی نهم – ریاضی دهم

در این فصل به عنوان مبحث تکمیلی حل معادله درجه دوم به کمک مبین معادله درجه دوم (دلتا) آموزش داده می شود.
بحث اصلی این بخش مربوط ریاضی دهم است. آموزش کامل آن در کتاب ریاضی پایه دهم در تمامی رشته های ریاضی ، تجربی و انسانی وجود دارد.

برای آشنایی شما عزیزان و تکمیل بحث اتحاد و تجزیه در ویدئوی زیر به معرفی معادله درجه دوم و نحوه تعیین دلتا می پردازیم.

در صورت تمایل به مشاهده سایر مباحث آموزشی مربوط به ریاضی متوسطه اول روی لینک مربوط کلیک کنید.
ورود به صفحه ریاضی هشتم
ورود به صفحه ریاضی نهم

تمرینات ویژه دانش آموزان عزیزم
تمرین سری اول فصل پنجم

برای تکمیل آموزشهای ارائه شده در این صفحه جزوه فصل پنجم ریاضی نهم مهندس باغدار در ادامه قرار داده شده است.

نکات اتحاد و تجزیه و نامعادله با حل 62 تست و تمرین در جزوه فصل پنجم ریاضی نهم مهندس باغدار

 جزوه-فصل-پنج-ریاضی-نهم
جزوه-فصل-پنج-ریاضی-نهم برای آمادگی آزمون تیزهوشان و نمونه – دولتی اتحاد و تجزیه

این جزوه شامل 62 تست و تمرین با پاسخنامه تشریحی از مباحث مختلف فصل پنجم است.

تستهایی از تشخیص یک جمله‌ای ها

 تعیین ضرایب در حاصل ضرب چندجمله ای ها

 اتحادها و کاربردهای آنها

 تجزیه عبارتهای جبری

شرایط تجزیه پذیری چندجمله ای درجه دوم

یافتن ریشه های چندجمله ای ها

 نامعادله های خطی و دو نکته تکمیلی برای نامعادله های قدر مطلقی

لینک پرداخت

در این جزوه سعی شده است غالب مباحث مطرح در کتاب ریاضی تکمیلی تیزهوشان نیز پوشش داده شود. اتحادهای خارج از کتاب درسی که در کتاب تکمیلی هم از آنها استفاده نشده است! جز مباحث این جزوه نمی باشد.

دانلود جزوه فصل پنجم ریاضی نهم ویژه تیزهوشان

8 Replies to “اتحاد و تجزیه”

  1. مهدوی

    سلام ی تابع دارم که باید حل شود نمیدانم از چه روشی کمک میخام عبارت اینه اف ایکس برابر با ایکس به توان شش منهای چهار ایکس به توان چهار بعلاوه سه ایکس منهای یک ممنون

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام منظورتون از حل تابع چیه؟ منظورتان رسم تابع است؟ یا به دست آوردن ریشه های تابع؟
      توجه کنید که در معادلات درجهٔ پنج به بالا (یعنی پنج، شش، هفت و…) نمی‌توان همهٔ ریشه‌ها را به صورت دقیق بر حسب ضرایب مجهول بدست آورد.

      برای معادلات درجه بالاتر از روش‌های مجاسبات عددی همچون روش نیوتون استفاده می‌کنند.
      البته با تغییر علامت تابع در نقاط مختلف می توان حدود ریشه های تابع را یافت.

      Reply

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *