معادله خط

جزوه فصل ششم ریاضی نهم ویژه تیزهوشان + 50 تست و تمرین حل شده – معادله خط و دستگاه معادله

جزوه فصل ششم ریاضی نهم مهندس باغدار شامل مفاهیم پایه تا نکات مهم تستی این فصل است. این جزوه شامل مباحث ضروری برای دانش آموزان پایه یازدهم تجربی نیز است. این جزوه در کنار مطالب رایگان موجود در این صفحه، توانایی شما در حل مسائل معادله خط را به طور محسوسی افزایش می دهد.

مهمترین موضوعات مطرح شده در این جزوه شامل مباحث زیر است.

معادله خط به صورت مفهومی؛

روابط خطی و تشخیص  فرمول الگوهای حسابی؛

شیب خط و تشخیص آن در حالتهای مختلف جبری و ترسیمی؛

 عرض از مبدا و تشخیص آن در حالتهای مختلف جبری و ترسیمی؛

فاصله نقطه از خط؛

فاصله دو نقطه از هم؛

روابط مربوط به شیب خطوط موازی و عمود بر هم؛

دستگاه معادلات خطی؛

تعیین وضعیت دو خط.

برای دریافت رمز فایل این جزوه، از لینک زیر هزینه آن را پرداخت نمایید.

لینک پرداخت هزینه جزوه فصل ششم ریاضی نهم

بخشی از صفحه اول این جزوه را که مفهوم معادله خط را بیان می کند در فیلم زیر مشاهده می کنید.

معادله خط چیست؟ 
چگونه می توان رابطه بین طول و عرض نقاط روی یک خط را بیان کرد؟

هر خطی را که در صفحه مختصات در نظر بگیرید ، رابطه ای بین عرض نقاط روی آن خط و طول آن نقاط می توان نوشت.
به این رابطه که به شکل یک تساوی جبری نوشته می شود؛ معادله خط می گویند.

معادله نیمساز ناحیه اول و سوم چست؟

نیمساز ناحیه اول و سوم خطی است که این دو ناحیه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.  طول تمام نقاطی که روی آن قرار دارند  با عرضشان برابر است . 

 مثلا اگر طول نقطه ای روی این خط ۲ باشد؛ عرضش نیز ۲ است . یا اگر عرض نقطه ای روی این خط ۳- باشد . طولش نیز ۳- خواهد بود. پس معادله خط نیمساز ناحیه اول و سوم به شکل y=x خواهد بود.
با توجه به این معادله ، اگر بخواهیم عرض هر نقطه ای از این خط را با دانستن طول آن نقطه به دست آوریم . کافی است در معادله این خط به جای x مقدار طول آن نقطه را قرار دهیم. آنچه برای y به دست می آید همان عرض نقطه مورد نظر ما روی خط است.

اگر معادله خط ما y=x+۱ باشد، طول نقطه ای که عرض آن صفر است. چند خواهد بود؟

باید به جای y صفر قرار دهید . حال معادله حاصل را حل کنید . تا به جواب x=-۱ برسید. یعنی نقطه ای به طول ۱- روی این خط دارای عرض صفر است. یا به عبارت دیگر، نقطه (۰و۱-) روی این خط قرار دارد.

مختصات نقطه روی خط را چگونه به دست می آید؟

وقتی معادله هایی نظیر y=ax+b را که در آن a,b اعداد حقیقی هستند حل می کنیم. نقاط روی یک خط به دست می آیند.

همان طور که می بینید بی نهایت نقطه جواب این معادله است.

مثلا برای معادله y=x می توانید بی شمار نقطه را مشخص کنید که طول و عرض آنها با هم برابر است. یک خط از بی نهایت نقطه تشکیل شده است.  همه این نقاط، در رابطه ای که به آن معادله خط می گوییم؛ صدق می کنند. یعنی اگر طول و عرض آن نقاط را در این معادله قرار دهیم به یک تساوی عددی می رسیم.
قرارداد: به معادله y=ax+b از این به بعد فرم معمول معادله خط می گوییم.

در معادله خط:

اگر طول نقطه داده شود. آن را به جای x قرار می دهیم. سپس مقدار y به عنوان عرض نقطه به دست می آید. 

اگر عرض نقطه داده شود. آن را به جای y قرار می دهیم. سپس مقدار x به عنوان طول نقطه به دست می آید. 

عرض از مبدأ چیست؟

چگونه عرض از مبدأ یک خط را به دست آوریم؟

به عدد b در فرم معمول معادله خط، عرض از مبدأ گفته می شود. این عدد نشان می دهد که اگر به x صفر بدهیم چه مقداری برای y به دست می آید .

در حقیقت b مشخص می کند که خط مورد نظر ما محور عرض ها را در چه نقطه ای قطع می کند. حتما دقت دارید که حتی اگر معادله را به فرم معمول آن ندهند . با به دست آوردن مقدار y حاصل از صفر گذاشتن x ، مقدار عرض از مبدا به راحتی به دست می آید .
مثال) عرض از مبدا خط به معادله ۳x+۵y=۱۰ برابر است با ….
.
.
.
.
.
.
.
امیدوارم به جواب ۲ رسیده باشید. دقت کنید که نیازی نیست حتما معادله را به فرم معمول بنویسید. فقط کافی است به جای x صفر قرار دهید . از معادله ۵y=۱۰ مقدار y یا همان عرض از مبدا را به دست آورید.

معادله خط گذرنده از مبدا مختصات

نکته: تمام خطوط به معادله y=ax که در آنها a یک عدد حقیقی است از مبدأ مختصات عبور می کنند. (یا به اصطلاح نقطه صفر و صفر در معادله تمام این خطوط صدق می کند.)

شیب خط چیست ؟ 

نکته: به عدد a که ضریب x در فرم معمول معادله خط است ؛ شیب خط گفته می شود.
دقت کنید که در این معادله y در سمت چپ و x در سمت راست تساوی قرار دارند و ضریب y عدد یک است.
در حقیقت زمانی که می گوییم در معادله خط ، ضریب x شیب خط است . منظور ما معادله به فرم y=ax+b است. پس اگر معادله به این فرم نبود باید آن را به این شکل بازنویسی کنید.
مثال) شیب خط ۳y-۶x=۴ برابر است با ۲ . زیرا اگر آن را به فرم معمول بنویسم به این شکل نوشته می شود: y=۲x+۴/۳

تعبیر هندسی شیب خط چیست؟

شیب خط به زاویه ای که خط با محور طولها می سازد مرتبط است.
هر چه شیب خط عدد بزرگتری باشد . تغییرات عرض نقاط روی خط بیشتر خواهد بود. در شکل زیر شیب خط OA بیشتر از OB است.

شیب خط و مقایسه شیب خطوط با توجه به شکل

چگونه شیب خط به دست می آید؟

میزان تغییرات عرض ها به تغییرات طولها . یا نسبت تغییرات عرض نقاط به تغییرات طول نقاط روی خط.

پس اگر دو نقطه از خطی را داشته باشیم . برای یافتن شیب آن خط ، کافی است عرض نقاط را از هم کم کنیم . سپس اختلاف طول نقاط را نیز به دست آوریم . بعد این دو عدد را برهم تقسیم کنیم.

یافتن شیب خط از روی شکل با یک نگاه

برای به دست آوردن شیب خط از روی شکل، یک مثلث قائم الزاویه بسازید. به طوری که وتراین مثلث روی خط قرار بگیرد. نسبت ضلع عمودی به افقی این مثلث قدر مطلق شیب خط است. برای تعیین علامت شیب خط به نکته زیر توجه کنید.

تشخیص علامت شیب خط با نگاه به شکل

در بسیاری از تستها فقط دانستن منفی یا مثبت بودن شیب خط ، می تواند ما را به جواب درست راهنمایی کند.
در این موارد دقت کنید که اگر با افزایش x ها مقدار y ها افزایش پیدا کرد؛ شیب خط مثبت است. یعنی هر وقت شما یک سربالایی دیدید. متوجه می شوید که شیب خط مثبت است.

همیشه از سمت چپ به راست نگاه می کنیم.

حالا اگر وقتی به سمت راست حرکت می کنیم. سربخوریم یعنی مقدار عرضها کم بشود شیب منفی خواهد بود.
اگر دقت کنید؛ می بینید شیب شکل مثال زیر مثبت است.(سربالایی داریم.)
شیب خط روی شکل

محاسبه شیب خط با داشتن دو نقطه از خط

فرمول شیب خط

مثال) شیب خط گذرنده از نقطه زیر را بیابید.

به دست آوردن شیب خط با داشتن دو نقطه

شیب گذرنده از دو نقطه

چگونه معادله خط را به دست آوریم؟

نکته: از هر دو نقطه تنها یک خط عبور می کند. لذا با داشتن دو نقطه از یک خط می توان معادله آن خط را به دست آورد. برای این کار دو راه در پیش داریم.

می توانیم ابتدا شیب خط را با توجه به نکات گفته شده به دست آوریم. سپس یکی از نقاط را در معادله خط قرار دهیم ؛ تا مقدار عرض از مبدأ به دست آید. راه دوم استفاده از فرمول زیر است.

یافتن معادله خط گذرنده از دو نقطه

 

تستی زیبا از معادله و شیب خط

 

خدا قوت! امیدوارم دید کلی خوبی نسبت به این مبحث پیدا کرده باشید. حالا وقت آن است که یکی از تستهای به ظاهر دشوار مطرح شده در آزمون های قلمچی برای دوستان پایه نهم رو مطرح کنیم.
تست از معادله خط و یافتن مساحت

دوستان برای حل این سوال شما بایستی اول دو تا خط خواسته شده را رسم کنید. این کار خیلی ساده است.

کافی است یک بار به جای x صفر قرار دهید؛ تا محل تقاطع با محور عرضها به دست آید. بار دیگر به y صفر دهید ؛ تا محل تقاطع با محور طولها به دست بیاد.

حالا دو تا نقطه رو به هم وصل کنید تا خط مورد نظر به دست آید. از اینجا به بعدش بر می گردد به دانش دوره ابتدایی شما برای به دست آوردن مساحت قسمت رنگ شده در شکل های ساده.

برای این که بهتر راه حل را متوجه شوید پاسخ ارائه شده طراح را هم برایتان قرار می دهم.
پاسخ تست دامدار قلمچی از یافتن مساحت حاصل از تقاطع خطوط

نکات تکمیلی معادله خط

نکات تکمیلی که در این بخش ارائه می شود، در آزمونهای مدارس نمونه و تیزهوشان بیشتر کاربرد دارند.
دانش آموزان رشته تجربی در سال یازدهم در اولین فصل کتاب ریاضی 2 نیز با این نکات آشنا می شوند. 

مباحث مربوط به :

رابطه بین شیب دو خط عمود برهم؛

فاصله نقطه از خط؛

مختصات وسط پاره خط؛

فاصله دو نقطه به صورت رسمی در ریاضی 2 تدریس می شوند.  در تستهای تیزهوشان به جز فاصله نقطه از خط و رابطه بین شیب دو خط عمود برهم ؛ سایر موارد چون به سادگی با دانسته های دانش آموزان متوسطه اول قابل دستیابی تست طرح می شود.

یکی از تستهای آزمون ورودی پایه دهم تیزهوشان نیازمند دانستن فرمول محاسبه فاصله دو نقطه از هم بود. که البته این تست چون با رابطه فیثاغورس هم قابل حل بود . در سطح مفاهیم بالاتر از کتاب درسی قابل دسته بندی بود.

نکات مهم معادله خط

نکات مهم معادله خط

یافتن قرینه یک خط نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم (y=x)

کافی است جای x، y و به جای y، x قرار دهیم. معادله به دست آمده قرینه خط نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم است.
این نکته از مفهوم تابع وارون که دانش آموزان در فصل سوم ریاضی 2 پایه یازدهم با آن آشنا می شوند، به دست می آید.
برای تسلط بیشتر می توانید نمونه سوالات زیر را دانلود نمایید.
دانلود نمونه آزمون فصل ششم – سری اول
دانلود نمونه آزمون فصل ششم – سری دوم
دانلود نمونه سوال فصل معادله خط از مدارس نمونه دولتی

حل تست کنکور تجربی سال 1397 با استفاده از نکات تکمیلی مبحث معادله خط

تست 126 کنکور سراسری تجربی سال 97:

تست 126 کنکور تجربی 97

تست 126 کنکور تجربی 97

 

10 تست از معادله خط برای دانش آموزان پایه یازدهم و نیز داوطلبان ورودی پایه دهم تیزهوشان

این 10 تست که به صورت تشریحی حل شده اند . پیشنهاد ویژه ما برای تسلط بیشتر روی معادله خط و تستهای ترکیبی از این مبحث است. 3 تست اول را در تصویر زیر می بینید.

تمامی تستها با نکاتی که در اینجا مطرح شده است قابل حل می باشد. در این تستها مفاهیم معادله خط با سایر مباحث نظیر دایره و مثلث ترکیب شده است.

10 تست ترکیبی و مفهومی از معادله خط
برای پرداخت هزینه فایل، روی لینک زیر کلیک کنید.

https://api.nextpay.org/gateway/link/YSah0ADYxG

برای تکمیل فرایند آموزش، جزوه کامل ما را دانلود کنید.

جزوه معادله خط شامل نکات پایه تا نکات مهم و تستی فصل ششم ریاضی نهم است. این جزوه شامل مباحث ضروری برای دانش آموزان پایه یازدهم تجربی نیز است. این جزوه شامل مباحث زیر است.

مفهوم معادله خط؛

روابط خطی و تشخیص  فرمول الگوهای حسابی؛

شیب خط و تشخیص آن در حالتهای مختلف جبری و ترسیمی؛

 عرض از مبدا و تشخیص آن در حالتهای مختلف جبری و ترسیمی؛

فاصله نقطه از خط؛

فاصله دو نقطه از هم؛

روابط مربوط به شیب خطوط موازی و عمود بر هم؛

دستگاه معادلات خطی؛

تعیین وضعیت دو خط.

برای دریافت رمز فایل این جزوه، از لینک زیر هزینه آن را پرداخت نمایید.

لینک پرداخت هزینه جزوه فصل ششم ریاضی نهم