حجم و مساحت

حجم چیست؟ فرمول حجم اشکال مختلف

فرمول حجم شکل های سه بعدی نظیر منشور، هرم و کره را پس از معرفی واحدهای اندازه گیری حجم در این بخش آموزش می دهیم. فضایی را که هر شکل سه بعدی اشغال می کند حجم می گوییم. 

واحد اندازه گیری حجم چیست؟

واحدهای اندازه گیری حجم معمولا دارای پسوند مکعب هستند. نظیر متر مکعب، سانتی متر مکعب ، میلی متر مکعب.

لیتر، سی سی و میلی لیتر از این قاعده مستثنی هستند.

سی سی و میلی لیتر و سانتی مترمکعب چه رابطه ای با هم دارند؟

میلی لیتر و سی سی و سانتی متر مکعب واحد اندازه گیری حجم هستند. سی سی ، سانتی مترمکعب و میلی لیتر باهم برابر هستند. حجم مکعبی به ضلع یک سانتی متر برابر است با: یک سانتی مترمکعب یا یک سی سی یا یک میلی لیتر.

یک لیتر چند سانتی متر مکعب است؟ یک لیتر چند متر مکعب است؟

یک لیتر حجم مکعبی است که هر ضلع آن 10 سانتی متر است یعنی یک لیتر معادل 1000 سانتی متر مکعب است. هر 1000 لیتر معادل یک مترمکعب است.

حجم های هندسی – فرمول حجم های هرمی، منشوری و کروی

اشکال فضایی یا سه بعدی به دو دسته هندسی و غیر هندسی تقسیم بندی می شوند.
حجم های هندسی عبارتند از حجم های منشوری ، حجم های کروی و حجمهای هرمی.
از ترکیب این اشکال نیز می توان به یک حجم هندسی دست یافت.

حجم های هندسی شامل حجم های منشوری ، حجم های کروی و حجم های هرمی

حجم های هندسی

حجم اشکال منشوری چگونه محاسبه می شود؟

منشور حجمی است که دو قاعده هم نهشت دارد. در صورتی که قاعده منشور، چند ضلعی باشد؛ وجوه جانبی منشور مستطیل یا متوازی الاضلاع خواهد بود.

فرمول حجم منشور

برای محاسبه حجم یک منشور کافی است مساحت قاعده را در ارتفاع منشور ضرب کنیم. در فرمول حجم منشور نیاز به محاسبه مساحت قاعده است.

اگر قاعده منشور، متوازی الاضلاع، مثلث یا ذوزنقه باشد؛ برای محاسبه مساحت قاعده ارتفاع قاعده را در فرمول مساحت آن شکل قرار دهیم. 

حجم های منشوری - انواع منشور های چندپهلو

حجم های منشوری

حجم اشکال هرمی چگونه محاسبه می شود؟

حجم اشکال هرمی برابر است با ثلث مساحت قاعده ضرب در ارتفاع.
مخروط نیز یک شکل هرمی است که قاعده آن دایره است.

فرمول حجم مخروط و حجم هرم

فرمول حجم مخروط

فرمول حجم مخروط

حجم کره چگونه محاسبه می شود؟

برای به دست آوردن حجم یک کره از فرمول زیر استفاه می کنیم:

حجم کره به شعاع r

حجم کره

اگر شعاع کره ای را 2 برابر کنیم، حجم آن چند برابر می شود؟

با توجه به فرمول حجم کره، حجم با توان سوم شعاع متناسب است. پس اگر شعاع را 2 برابر کنیم. حجم کره 8 برابر می شود.

فرمول مساحت کره چیست؟

مساحت کره ای به شعاع r ، چهار برابر دایره ای به شعاع r است.

مساحت کره

فرمول مساحت کره

مساحت منشور و هرم با چه فرمولی محاسبه می شود؟

فرمول مساحت جانبی منشور

برای یافتن مساحت جانبی یک منشور کافی است محیط قاعده منشور را در ارتفاع منشور ضرب کنیم.

مساحت جانبی منشور شامل مساحت تمام وجوه آن به جز دو قاعده منشور است.
اگر مساحت جانبی را با مساحت دو قاعده جمع کنیم. مساحت کل منشور به دست می آید.

فرمول مساحت هرم

در هرم ها هر وجه جانبی یک مثلث است. مساحت هر وجه جانبی را از فرمول مساحت مثلث به دست می آوریم. و با مساحت قاعده جمع می کنیم.

دانلود خلاصه درس و تمرینات فصل حجمهای هندسی از کتاب هندسه یک انتشارات خیلی سبز

فرمول حجم حاصل از دوران اشکال هندسی

در دوران اشکال مختلف معمولا یک استوانه یا یک مخروط یا ترکیبی از این دو ایجاد می شود.
در دوران یک مستطیل حول طول آن یک استوانه ایجاد می شود که شعاع آن برابر است با عرض مستطیل و ارتفاع آن برابر است با طول مستطیل.
در دوران یک مثلث قائم الزایه حول ضلع زاویه قائمه نیز یک مخروط به دست می آید که ارتفاع آن برابر ضلعی است که دوران حول آن انجام شده است و شعاع مخروط برابر است با ضلع دیگر زاویه قائمه.

حجم حاصل از دوران یک مستطیل و حجم حاصل از دوران یک مثلث

حجم حاصل از دوران یک مستطیل و حجم حاصل از دوران یک مثلث

تمرین) حجم حاصل از دوران یک مثلث قائم الزاویه به اضلاع زاویه قائمه 3 و 4 را حول وتر آن به دست آورید.
در ادامه کار چند تست از این بخش ارائه می گردد. امیدوارم با مطالب بیان شده در این بخش بتوانید پاسخ این تستها را به درستی بیابید.
تسلط به رابطه فیثاغورس و نکات تکمیلی مبحث مثلث قائم الزاویه ، خواص چند ضلعی ها در حل برخی از این تستها مفید است. لذا برای یادآوری مطالب به لینک زیر مراجعه کنید.
ورود به صفحه هندسه و استدلال

کاربرد رابطه فیثاغورس در مکعب

کاربرد رابطه فیثاغورس در مکعب

 

تست از حجم حاصل از دوران

تست از حجم حاصل از دوران

جزوه حجم و مساحت (با تست و مثال)

فروردین 1399 جزوه حجم و مساحت مهندس باغدار بارگذاری می شود.