احتمال

مفاهیم و نکات احتمال در ریاضی هفتم، هشتم و نهم

احتمال یکی از مباحث پایه ای و مهم کتابهای ریاضی پایه‌های هفتم، هشتم و نهم است. فصل نهم کتاب ریاضی هفتم و فصل هشتم کتاب ریاضی هشتم به مبحث آمار و احتمال می پردازد.
در فصل اول ریاضی نهم مبحث احتمال مجدداً مطرح می‌شود. در این فصل، ارتباط بین احتمال ومجموعه‌ها مورد بررسی قرار می گیرد.

نحوه تشکیل فضای کل پیشامدها و فضای پیشامد مطلوب با کمک مفاهیم مطرح شده در بخش مجموعه‌ها در این فصل مورد توجه قرار می‌گیرد. احتمال با وجود داشتن یک مفهوم ساده و فرمولها و تکنیکهای به ظاهر ساده همیشه یکی از مباحث چالشی در آزمونها بوده است. برای درک بهتر این مبحث و تسلط بر تستهای آن در این بخش به آموزش مبحث احتمال از سطح مبتدی تا تیزهوشان می پردازیم.

شانس رخداد و تعریف پیشامد

احتمال همان طور که از نامش پیداست ؛ می خواهد به ما بگویند چقدر شانس رخ دادن پدیده یا پیشامدی وجود دارد. مثلا اگر یک سکه را پرتاب کنیم . با فرض اینکه، این کار را به تعداد زیاد انجام دهیم. تعداد دفعاتی که سکه رو می آید. نسبت به کل پرتاب ها چه سهمی را دارد؟ این قبیل بحث ها که مثال پرتاب سکه ساده ترین نمونه آن است. پایه مباحث احتمال هستند.
در ادامه به توضیح چند اصطلاح که دانستن آن برای دانش آموزان عزیز لازم است می پردازیم.
پیشامد: هر چیزی که پیش آید! پیشامد یا رخداد، آن چیزی است که می خواهیم آن را بررسی کنیم. مثلا پیشامد رو آمدن در پرتاب سکه، ظاهر شدن عدد 6 در پرتاب تاس.

مفهوم ساده احتمال و گستردگی آن

ذکر این نکته لازم است که احتمال به زبان ساده یعنی مطلوب به کل! بسته به نوع مسئله با موارد زیر مواجه خواهیم بود:

تعداد پیشامد مطلوب به تعداد کل پیشامدهای ممکن

مساحت پیشامد مطلوب به مساحت کل ممکن

طول مطلوب به کل طول

مقدار مطلوب به مقدار کل مورد نظر مصادیقی از مطلوب به کل هستند.
هر چند در کتاب درسی عمدتا مفهوم احتمال مبتنی بر شمارش آموزش داده می شود. اما از دانش آموزان توقع می رود؛  در مواقعی که جنس خواسته مساله از نوع شمارش و تعداد نیست. نیز بتواند به کمک مفهوم احتمال به پاسخ دست یابد. در همین صفحه شما با تستی از این نوع نیز روبرو خواهید شد.

پیشامد حتمی و پیشامد غیرممکن

گاهی اوقات یک پیشامد را حتمی می گوییم. یعنی صد در صد آن پیشامد اتفاق می افتد. مثلا بعد از روز شب می آید. احتمال اینکه در پرتاب سکه یا رو ظاهر شود یا پشت صد در صد است . چون حالت دیگری متصور نیست.
پیشامد غیر ممکن نیز پیشامدی است که احتمال وقوع آن صفر است . یعنی به هیچ وجه انجام نمی شود.

حدود مجاز برای احتمال یک پیشامد

توجه: احتمال یک پیشامد در محدوده صفر تا یک یا صفر تا صد در صد قرار دارد.

در محاسبه احتمال نکته حائز اهمیت محاسبه صورت و مخرج کسر احتمال یا در حقیقت همان پیشامد مطلوب و کل پیشامدهای ممکن است.

محاسبه احتمال یک رخداد

ساده ترین راه برای به دست آوردن تعداد مطلوب و همچنین کل حالات ممکن ؛ استفاده از راهبرد تفکر نظام مند یا همان الگوسازی است. به این صورت که با یک روش منطقی نظیر استفاده از جدول یا نمودار درختی، تمام حالات را می نویسیم . با شمارش این حالات، تعداد کل حالت های ممکن و تعداد کل حالات مطلوب را به دست می آوریم.
این روش برای مواردی که تعداد حالات کم است؛ روش مناسبی است. اما اگر تعداد حالات زیاد باشد. توصیه می کنم از اصل ضرب استفاده کنید.

البته در ابتدای راه حتی برای استفاده از اصل ضرب لازم است بخشی از نمودار درختی را برای فهم بهتر چگونگی پیاده سازی اصل ضرب رسم نمود.

چند تست از بحث احتمالات

استفاده از مفاهیم اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها در حل مسائل و تستهای احتمال پایه های نهم و بالاتر بسیار راهگشاست. در ادامه به بررسی چند تست در این زمینه می پردازیم.
تست احتمال دو بعدی
اما پاسخ این تست تنها با استفاده از توجه به مفهوم و تعریف احتمال:
پاسخ تست احتمال

تست احتمال از سوالات دامدار قلمچی
برای حل این تست تنها کافی است با استفاده از راهبرد تفکر نظام مند که در پایه هفتم آموخته اید! تمام حالات ممکن را بنویسید.سپس با استفاده از مفهوم احتمال پاسخ را بیابید.
پاسخ تست احتمال از سری تستهای تاس
در پاسخگویی به تستهای مربوط به پرتاب دو تاس، توجه به نکته زیر زمان رسیدن به پاسخ را بسیار کوتاه می کند.
نکته: در پرتاب دو تاس همگن یا دو بار پرتاب یک تاس:
12 11 10 9 8 ۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ مجموع اعداد
۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱ تعداد حالات

همان طور که می بینید تعداد حالاتی که مجموع اعداد رو شده در دو تاس کمتر از 8 است. یک واحد کمتر از مجموع دو عدد رو شده است. دقت کنید از مجموع اعداد ظاهر شده برابر 7 که ۶ حالت دارد . دوباره تعداد حالات به صورت منظم کم می شود. مجموع هر دو عددی که جمعشان 14 است تعداد حالات برابر دارند.

10 Replies to “احتمال”

  1. زهرا

    سلام دو سئوال داشتم اگه زحمت بکشین جواب بدین ممنون میشم
    با a ، b و c چند کلمه سه حرفی می توان ساخت ، تکرار جایز است ؟
    استادمون می گن صفر فاکتوریل مساوی یک اشتباست ، ولی درعین حال قانون و باید رعایت کرد از مون خواستن که اثبات کنیم که مساوی صفر نمیشه
    سپاس

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام تعداد کلمات سه حرفی با سه حرف برابر است با ۳ ضربدر ۲ صربدر ۱ریعنی ۶ تا. در ریاضی هفتم در فصل اول با این مفهوم آشنا میشید و در ریاضی ۱ پایه دهم با مفهوم اصل ضرب به طور کلی آشنا میشید که حالتهای مختلف اینجور مسایل را یاد میگیرید. این مربوط به حالتی هست که تکرار مجاز نباشد. اما اگر تکرار مجاز باشد چون برای جایگاه هریک از حروف کلمه سه حرفی سه انتخاب داریم تعداد کل حالات برابر 27 خواهد بود.
      به نظر میرسه نظرشون در مورد اینکه صفر فاکتوریل یک نمیشه سرکار گذاشتن مخاطبین باشه. چون این به عنوان یک اصل پذیرفته است. در یکی از سایتهای مرجع دیدم که برای تعریف n فاکتوریل گفته بود میشه 1+n فاکتوریل تقسیم بر 1+n که اگه از این تعریف استفاده کنیم و مقدار n را برابر صفر قرار بدیم دقیقا به اینکه صفر فاکتوریل برابر یک هست میرسیم.

      Reply
      • زهرا

        ممنون از لطف شما 🙏🙏
        جسارتا برای این جواب یعنی عدد ۲۷ از چه فرمولی استفاده کردید ؟
        سپاس از وقت تون

        Reply
        • reza-baghdar Post author

          از اصل ضرب استفاده کردم. سه حالت برای حرف اول، سه حالت برابر حرف دوم و سه حالت برای حرف سوم که میشه 3 به توان 3. در مسائلی که تعداد اشیا با تعداد جایگاه ها برابر است و امکان انتخاب تکراری اشیا برای پرکردن جایگاه ها وجود دارد تعداد حالات برابر است با n به توان n که در مثال شما n برابر با 3 بود.
          موفق باشید.

          Reply
  2. عزیزی

    در یک مثلث یکی از زاویه ها ۴۵ درجه است احتمال اینکه این مثلث یک زاویه باز داشته باشد چقدر است؟

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سوال خیلی قشنگیه از مفهوم طول بازه،احتمال و هندسه!
      وقتی یه زاویه ۴۵ داریم مجموع دو زاویه دیگه میشه ۱۳۵ درجه.
      اندازه زاویه ها می تونن از یه عدد خیلی نزدبک به صفر تا خیلی نزدیک ۱۳۵ باشن یعنی بزرگتر از صفر و کوچکتر از ۱۳۵
      پس کل محدود مجاز یک زاویه ۱۳۵ درجه ست.
      محدوده زاویه منفرجه ما درداین حالت از ۹۰ تا ۱۳۵ میشه
      پس احتمال میشه ۴۵ تقسیم بر ۱۳۵ یا در نهایت یک سوم

      Reply
      • محمد

        به نظرم بهتره این شکلی بگیم.دو زاویه دیگه داریم هر کدام سه حالت دارند باز ،تند ،و قائمه که در نتیجه کل حالات ۶ حالت میشه.و حالت مطلوب دو حالتی هستند که یا اولی باز باشه یا دومی و در نتیجه احتمال همون 1/3 می شود

        Reply
    • reza-baghdar Post author

      در تست 47، چون دو تاس پرتاب شده است تعداد کل حالات ممکن بنا به اصل ضرب 6 ضرب در 6 یا همان 36 خواهد بود. این 36 حالت عبارتند از اینکه :
      در پرتاب اول عدد یک و در پرتاب دوم یکی از اعداد 1 تا 6 ظاهر شود (6حالت)
      در پرتاب اول عدد 2 و در پرتاب دوم یکی از اعداد 1 تا 6 ظاهر شود (6حالت) و …
      در پرتاب اول عدد شش در پرتاب دوم یکی از اعداد 1 تا 6 ظاهر شود(6حالت)

      Reply

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *