توان و ریشه (توان و جذر)

نکات و مفاهیم عددهای توان دار و ریشه اعداد

عددهای توان دار چگونه نمایش داده می شوند؟

عددهای توان دار و جذر اعداد در تمام کتب ریاضی متوسطه اول دیده می شود. فصل هفتم کتب ریاضی پایه های هفتم و هشتم با عنوان “توان و جذر” نامگذاری شده است. این مبحث در فصل چهارم کتاب ریاضی پایه نهم با عنوان “توان و ریشه” تکمیل می گردد.

در پایه دهم نیز توانهای گویا در ادامه مباحث توان و ریشه پایه نهم مطرح می گردد. این بخش معمولا به عنوان مطالب تکمیلی به دانش آموزان مدارس خاص آموزش داده می شود.
اعداد تواندار و رادیکالها از کاربردی ترین فصول ریاضی است که در

مسابقات ریاضی به ویژه مسابقه های جهانی نظیر IMC و المپیادهای داخلی
دروس ریاضی متوسطه دوره دوم

نیز مورد توجه قرار می گیرد.

بیان ساده مفهوم توان برای عددهای توان دار

مفهوم ضرب : به جای نوشتن ۵ تا عدد ۳ که با هم جمع می شوند می توان از عمل ضرب استفاده کرد. یعنی نوشت ۵ ضرب در ۳.
برای ساده تر نوشته شدن ضرب اعداد از مفهوم توان استفاده می شود.
مثلا اگر ده بار عدد ۳ را در خودش ضرب کنیم می توانیم بنویسم ۳ به توان ۱۰.

به طور کلی منظور از توان m ام عدد a یعنی a را m بار در خودش ضرب کنیم. حال اگر a دو بار در خودش ضرب شود توان a دو خواهد بود.

نمایش اعداد تواندار

توان به صورت یک عدد کوچک در بالای پایه نوشته می شود. عددی که در ضرب تکرار می شود را پایه می گوییم.
در شکل زیر ۳ توان و ۲ پایه است.

نمایش عددهای توان دار

عملیات ریاضی روی عددهای توان دار

توان رسانی عددهای توان دار

اگر عدد توانداری داخل یک پرانتز قرار گیرد و برای پرانتز توانی قرار داده شود؛ حاصل یک عدد خواهد بود که پایه آن به توان حاصل ضرب توان ها می رسد.

به توان رساندن عددهای توان دار

ضرب و تقسیم اعداد تواندار

  حالت اول) ضرب و تقسیم عددهای توان دار با پایه های مساوی

برای ساده کردن عبارت های توان دار با پایه های مساوی چه کنیم؟

یکی از پایه ها را نوشته و اگر اعداد در هم ضرب می شدند توان ها را جمع و اگر بر هم تقسیم می شدند توان ها را کم می کنیم.

حالت دوم) ضرب و تقسیم اعداد تواندار با توانهای مساوی

برای ساده کردن عبارت های توان دار با توانهای مساوی چه کنیم؟

توان را نوشته و محاسبات را انجام می دهیم.(فقط در ضرب و تقسیم)
دقت کنید که برای ضرب یا تقسیم فقط باید یکی از دو حالت بالا رخ دهد تا بتوانیم دو عدد توان دار را در یکدیگر ضرب یا تقسیم کنیم.

اگر هر دو حالت همزمان رخ داد می توانید از هر کدام که دوست داشتید استفاده کنید.

برای محاسبه ضرب عبارتهای تواندار که نه پایه ها مساوی هستند و نه توانها چه کنیم؟

اگر چنان چه در صورت سوال، پایه ها یا توانها مساوی نبودند؛ باید با استفاده از ساده تر نوشتن اعداد یا ترکیب آن ها، کاری کنیم که یکی از دو حالت بالا اتفاق بیفتد.
یعنی باید به هر روش ممکن به اعداد با پایه های مساوی یا توان های مساوی برسیم؛ تا بتوانیم ضرب یا تقسیم را انجام دهیم.
در مثال زیر یک مورد از ضرب هایی را که در آنها ظاهرا هیچ کدام از دو حالت بالا رخ نداده است؛ به یکی از این حالات تبدیل می کنیم.

ضرب عددهای توان دار نیازمند یکسان سازی پایه ها
همان طور که در شکل می بینید پایه ها را با هم برابر کردیم. به این ترتیب عمل ضرب به سادگی انجام شد.
حالا امیدوارم بتوانید مثال زیر را به صورت یک عدد تواندار بنویسید.
تمرین برای ضرب اعداد توان دار

موارد گفته شده در مورد ضرب و تقسیم عددهای تواندار بود. شما مجاز نیستید این نکات را به جمع و تفریق تعمیم دهید.

جمع و تفریق اعداد تواندار چگونه انجام می شود؟

معمولا این جمع و تفریق به صورت ضرب قابل بیان هستند. این کار به سادگی با یک فاکتورگیری انجام می شود. اگر این کار ممکن نبود عبارت ساده نمی شود.

منظور از مربع یک عدد چیست؟
مجذور عدد a به چه معناست؟

مربع یا مجذور هر عدد؛ یعنی آن عدد به توان ۲ .

(کلید حافظه: یادتونه مساحت یک مربع میشه یه ضلع ضربدر خودش. )
تذکر: یادتون باشه مربع یک عدد با ربع عدد فرق می کنه ربع یک عدد یعنی یک چهارم اون عدد.

مکعب یک عدد چگونه محاسبه می شود؟

مکعب یک عدد؛ یعنی آن عدد به توان ۳ .

(کلید حافظه: حجم مکعب از توان سوم یک ضلع آن به دست می آید. )

نکات ساده و کاربردی در مورد اعداد تواندار:

عدد های منفی به توان زوج مثبت می شوند.
یک به هر توانی برسد برابر یک خواهد بود.
هر عدد به جز صفر به توان صفر، برابر است با یک.
هر عدد به توان یک برابر است با خودش.
تمرین) مجذور چه عددی برابر است با یک؟

گسترش مفهوم توان به توان منفی

آیا توان منفی داریم؟ معنای توان منفی چیست؟

در سال نهم مفهوم توان گسترده تر مطرح می شود و شما با توانهای منفی نیز مواجه می شوید.

معکوس عدد توان دار با توان مثبت برایر است با همان عدد توانداری که توانش منفی بوده است.

مفهوم توان منفی
خلاصه آنچه گفتیم را در تصویر زیر در مورد عددهای توان دار مشاهده می کنید.
روابط حاکم بر عددهای توان دار

جالب است بدانید که شما در پایه دهم به مفهوم توانهای گویا نیز آشنا می شوید. یعنی یک عدد می تواند توانی نظیر یک دوم بگیرد. (توان های گویا به سادگی در قالب عبارتهای رادیکالی قابل بیان هستند.)

نماد عملی چیست؟

نشان دادن اعداد به صورت حاصل ضرب یک عدد که قبل از اعشار تنها می تواند دارای یک رقم طبیعی باشد ضربدر توانی از عدد ده.
تعریف نماد علمی

برای مقایسه اعداد به صورت نماد علمی چه کنیم؟

برای حل مسائلی نظیر تمرین زیر از کتاب درسی چه راهی وجود دارد؟
مقایسه عددها با نماد علمی
قطعا اول لازم است به بخش توان دار عدد نگاه کنید. هر چه بخش توان دار بزرگتر باشد عدد بزرگتر است.

اگر بخش توان های ده یکسان بودند حالا به سراغ عددی که در این عدد تواندار ضرب می شود بروید.
به این ترتیب دومین عدد شکل بالا، بزرگترین عدد و سومین عدد کوچکترین عدد در بین این چهار عدد هستند.

مقایسه اعداد توان دار شبه نماد علمی

مقایسه اعداد توان دار شبه نماد علمی

مقایسه عددهای توان دار

بخشی از مسائل تیزهوشانی مربوط به این مبحث را مقايسه اعداد توان دار تشكيل مي دهد. هر چند با دانستن مطالبی که تا اینجا مطرح کردیم؛ به راحتی می توانید این نوع مسائل را با کمی تکرار و تمرین حل کنید.
برای افزایش سرعت حل مسائل این بخش به دسته بندی زیر توجه کنید:
به طور کلی مي توان مسائل مقایسه عددهای توان دار را به انواع زير تقسيم كرد:

۱- اگر دو عدد داده شده باشند كه پايه هاي يكسان و مثبت و توانهاي مختلف داشته باشند؛

عددي بزرگتر است كه توان آن بيشتر باشد. در اینجا دو استثنا داریم:

اولی مربوط به پایه های کوچکتر از واحد یا کوچکتر از یک است . در كسرهاي كوچكتر از يك اين قاعده برعكس مي شود . یعنی هرچه توان بزرگتر شود عدد کوچکتر خواهد شد.

استثنای دوم مروبط به عدد یک است. زیرا یک را به هر توانی برسانیم حاصل برابر یک خواهد بود.

مقایسه عددهای توان دار با پایه مثبت

2- اگر دو عدد داده شده باشند كه پايه هاي منفی مساوی و توانهاي مختلف داشته باشند؛

تذکر) در مورد پايه هاي منفي بايد با احتياط رفتار شود. زیرا توان زوج باعث می شود حاصل یک عدد مثبت به دست آید.
در مورد اعداد منفی قاعده کاملا برعکس اعداد مثبت است. یعنی برای اعداد منفی کوچکتر از ۱- هر چه توان کوجکتر باشد عدد بزرگتر خواهد بود. (حواستان به توان های زوج باشد چون حاصلش عددی مثبت خواهد بود.)

3- اگر دو عدد داشته باشيم كه پايه هاي مختلف و توانهاي مساوي داشته باشند :

در اینجا باید هم به توان و هم به پایه توجه داشت.

اگر پایه ها و توانها مثبت باشند عددی که پایه آن کوچکتر، کوچکتر از عدد با پایه بزرگتر خواهد بود.

اگر عددي مثبت به توان منفی برسد، عددي بزرگتر است كه پايه آن كوچكتر باشد.

تذکر) در مورد اعداد منفی حتما به علامت حاصل توجه کنید.

مقایسه عددهای توان دار با توانهای برابر

4- علامت نهايي عددهای توان دار، ساده ترين نکته در مقايسه آنها است.

چنانچه حاصل عبارت توانداري ، منفي و حاصل عبارت توانداري مثبت شود، بدون توجه به پايه و توان هاي داده شده، عدد منفي كوچكتر است.

مقایسه عددهای توان دار با پایه منفی

مقایسه عددهای توان دار منفی

5- در مقايسه اعداد توانداري كه توان هاي آن ها بسيار بزرگ است چه کنیم؟

مي توان با كوچكتر كردن توان و مراجعه به موارد قبل عمل مقايسه را انجام داد. در این مورد معمولا بزرگترین شمارنده مشترک توان ها را به دست می آوریم تا توانهای مشترک همان ب م م توان ها باشند.
برای درک بهتر این روش ، کافی است به ساده سازی زیر توجه کنید تا بتوانید به راحتی این دو عدد را با هم مقایسه کنید.

مقایسه عددهای توان دار با توان های نامساوی و بزرگ

کدام عدد توان دار بزرگتر است؟

ایجاد توان یکسان برای دو عدد توان دار

تبدیل توان به صورتی که توانهای دو عدد مساوی باشند برای مقایسه عددهای توان دار
مسائل مقایسه اعداد توانی که با این روش حل می شوند؛ بیشتر مورد توجه طراحان سوالات تیزهوشان قرار گرفته است.

6- در برخي از انواع مقايسه بايد مقايسه به صورت غيرمستقيم صورت پذيرد.

به اين معني كه بين دو عدد توان دار داده شده لازم است يك يا دو واسطه پيدا كرد و از آن كمك گرفت.
مثال) برای مقایسه ۳ بتوان 41 و ۷ به توان 29 به صورت زیر عمل می کنیم:

مقایسه اعداد تواندار به کمک واسطه ها

مقایسه عددهای تواندار به کمک واسطه ها

این حالت سخت ترین حالت مقایسه اعداد تواندار را نشان می دهد و بیشتر برای دانش آموزانی که در سطح تیزهوشان کار می کنند، یا برای مسابقات بین المللی خود را آماده می نمایند تسلط بر آن نیاز است و از سطح کتاب درسی بالاتر می باشد.

یافتن رقم یکان عددهای توان دار

برای یافتن رقم یکان عددهای توان دار فقط کافی است به رقم یکان عدد توجه کنیم. یعنی برای یافتن رقم یکان ۱۲۳۴۵۶۷ به هر توانی فقط رقم ۷ که رقم یکان عدد ماست را مورد توجه قرار می دهیم.

رقم یکان اعداد توان دار با رقم یکان ۱ یا ۵ یا ۶

اگر رقم یکان عدد مورد نظر ما صفر یا ۱ یا ۵ یا ۶ باشد رقم یکان حاصل (به هر توانی که برسد) برابر خودش خواهد بود. مثلا رقم یکان ۳۴۵۶ به توان ۲۳۴۵۶ برابر ۶ است.

رقم یکان اعداد توان دار با رقم یکان 9 یا 4

اگر رقم یکان عدد مورد نظر ما ۹ باشد اگر توانش عدد زوج باشد رقم یکان عدد حاصل یک و اگر توان فرد باشد رقم یکان عدد حاصل ۹ خواهد بود.

اگر رقم یکان عدد مورد نظر ما 4 باشد اگر توانش عدد زوج باشد رقم یکان عدد حاصل 6 و اگر توان فرد باشد رقم یکان عدد حاصل 6 خواهد بود.

رقم یکان اعداد توان دار با رقم یکان 3 یا 7 یا 8

توان را بر ۴ تقسیم کنیم.  یکان را به توان باقیمانده این تقسیم برسانیم.

دقت کنید که اگر باقیمانده برابر صفر شد باید رقم یکان را به توان ۴ برسانید.

جذر و ریشه دوم

جذر گرفتن دقیقا عکس عمل به توان ۲ رساندن است.

هدف از یافتن جذر یک عدد(نظیر ۹)، پیدا کردن عددی نامنفی است که اگر آن را به توان دو برسانیم حاصل برابر ۹ می شود.

پس جذر ۹ برابر است با ۳. دقت کنید خروجی رادیکال همواره نامنفی است. یعنی:

جذر یک عدد - جذر یک عدد توان دار منفی

جذر یک عدد – جذر یک عدد توان دار منفی

یادآوری: نامنفی یعنی منفی نیست پس یا صفر است یا مثبت. جدر صفر، صفر می شود. رادیکال هر عدد مثبتی یک عدد مثبت خواهد شد.

ریشه دوم به چه معناست؟

مفهوم ریشه دوم تقریبا معادل جذر یک عدد است. با این تفاوت که جذر یک عدد همیشه نامنفی است. اما ریشه دوم می تواند منفی نیز باشد.
منظور از ریشه دوم یک عدد، اعدادی است که اگر در خودشان ضرب شوند عدد مورد نظر را تولید می کنند. پس ۳ و ۳- ریشه های دوم عدد ۹ هستند.

ریشه های دوم 9

ریشه های دوم 9

در حقیقت هر عدد غیر صفری دو ریشه دوم دارد.
اعداد منفی ریشه دوم حقیقی ندارند زیرا اگر عددی در خودش ضرب شود یا با ضرب دو عدد مثبت مواجه هستیم؛ یا با ضرب دو عدد منفی که در هر صورت حاصل عددی مثبت است.

روشهای به دست آوردن جذر تقریبی اعداد

مربع کردن اعداد نزدیک به عدد زیر رادیکال

از راه های یافتن ریشه تقریبی کمک گرفتن از نزدیک ترین مربع کامل نزدیک به عدد مورد نظر ماست.
نزدیکترین مربع کامل به عددی که می خواهید جذر آن را به دست آوردید، بیابید.

کم کم به ریشه آن عدد مقادیری را می افزایید. سپس مربع آن ها را محاسبه می کنید. این کار را تا رسیدن مربع اعداد به نزدیکی عدد مورد نظر ادامه می دهید.
این روش که در کتاب درسی به آن اشاره شده است؛ زمان گیر است. اما شما را به جواب نزدیک می کند.

آیا روشی تستی برای محاسبه جذر تقریبی اعداد وجود دارد؟

روش تستی و بسیار ساده برای یافتن جذر تقریبی اعداد

یک فرمول تستی هم برای این کار وجود دارد. مثلا اگر بخواهیم جذر عدد ۸۲ را با این فرمول محاسبه کنیم به صورت زیر عمل می نماییم.

روشی سریع برای یافتن جذر تقریبی

روشی سریع برای یافتن جذر تقریبی

به مقدار جذر کوچکترین مربع کامل نزدیک عدد مورد نظر یک کسر اضافه شده است.

صورت این کسر برابر است با تفاضل عدد مورد نظر از مربع کامل (۸۲ منهای ۸۱).

مخرج این کسر، دو برابر جذر ۸۱ است. 81 نزدیک ترین مربع کامل به عدد ۸۲  است.
با این فرمول جذر تقریبی ۹۰ برابر است با: ۹ بعلاوه کسری با صورت ۹ و مخرج ۱۸یعنی برابر است با ۹.۵.

مربع کامل یعنی چی؟

به اعدادی نظیر ۴،۹،۱۲۱ که از ضرب یک عدد در خودش به دست می آیند مربع کامل می گویند.
این اعداد دارای جذر دقیق هستند. برای سایر اعداد با روش های مختلف می توان جذر تقریبی را به دست آورد.
در جدول ضرب که در دوره ابتدایی با آن آشنا شدید؛ اعداد واقع بر قطری که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین قرار دارند؛ مربع کامل هستند.

ریشه سوم یک عدد چیست؟

مفهوم ریشه سوم یک عددضرب و تقسیم اعداد رادیکالی چگونه انجام می شود؟

برای ضرب و تقسیم اعداد رادیکالی و ریشه سوم به یکی از دو روش زیر عمل می کنیم.

جدا سازی (تجزیه و جدا کردن رادیکال به صورت  ضرب و تقسیم دو عبارت رادیکالی مجزا)؛ یا

ادغام (ضرب و تقسیم عبارتهای زیر رادیکال).

قواعده ضرب و تقسیم ریشه سومجمع و تفریق اعداد رادیکالی چگونه انجام می شود؟

باید زیر رادیکالها اعداد مشابه هم باشند. در غیر با ساده سازی رادیکالها، بخشهای زیر رادیکالها را یکسان کنیم.

سپس ضرایب رادیکالهای مشابه را با هم جمع و تفریق می کنیم.
جمع و تفریق اعداد رادیکالی
برای درک بهتر مطلب بیان شده ، به مثال زیر از کتاب ریاضی نهم توجه کنید.
روش ساده سازی اعداد رادیکالی

چگونه ریشه های اعداد را مقایسه کنیم؟
چگونه محدوده اعداد رادیکالی را تعیین کنیم؟

مقایسه اعداد رادیکالی

مقایسه اعداد رادیکالی

راه های مقایسه اعداد رادیکالی

بدترین و در عین حال متداول ترین کاری که یک دانش آموز برای مقایسه این اعداد می تواند انجام دهد؛ این است که مقدار جذر تقریبی را در ضریبی که پشت آن قرار گرفته است؛ ضرب کند تا بتواند مقادیر اعشاری به دست آمده را با هم مقایسه نماید.

آیا راه بهتری برای مقایسه اعداد رادیکالی وجود دارد؟

بله شما می توانید ضریب پشت رادیکال را زیر رادیکال ببرید.

برای این کار کافی است آن را به توان دو برسانید. سپس حاصل را زیر رادیکال ببرید و در عدد زیر رادیکال ضرب کنید.

در اینجا مثلا 2 رادیکال 5 به صورت جذر 20 نوشته می شود.
به این ترتیب به سادگی پاسخ گزینه “د” خواهد بود.

در پایه دهم  (رشته های تجربی و ریاضی) در فصل عبارتها و توان های گویا، با توان های کسری و ریشه های چهارم، پنجم و … اعداد آشنا می شوید.

به زودی این بخش نیز برای تکمیل مباحث در همین صفحه آموزش داده خواهد شد.

بازگشت به صفحه آموزش ریاضی نهم

50 Replies to “توان و ریشه (توان و جذر)”

    • reza-baghdar Post author

      کافیه ابتدا عدد را تجزیه کنید. سپس به توان اعداد به دست آمده یک واحد اضافه کنید و آنها در هم ضرب نمایید. مثلا تجزیه عدد 4004 به صورت 2 به توان ضرب در 7 ضربدر 11 ضربدر 13 تجزیه می شود. اگر به توان اعداد به دست آمده که عبارت است از 2 ، 1، 1، 1 یک واحد اضافه کنیم و آنها را در هم ضرب کنیم یعنی اعداد 3، 2 ، 2، 2 را در هم ضرب کنیم تعداد شمارنده های 4004 به دست می آید. که برای 24 شمارند ه است. برای 4004 به توان 2 نیز می توانید به طور مشابه عمل کنید.

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام
      برای بیان اعداد بزرگ یکی از راه ها نوشتن آنها به صورت توان دار است.
      اگه حاصلش مدنظره باید با ماشین حساب حسابش کنی.

      Reply
  1. خاطره

    سلام وقتتون بخير
    من دنبال يك طرح درس به كمك ماشين حساب هستم
    يعني يك مبحث رو بتوانيم به كمك ماشين حساب براي دانش آموزان راحت تر و جذاب تر مطرح كرد

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام وقت بخیر
      این بخش معمولا رایگان نیست. چون اصولا برای داوطلبان رشته های فنی حرفه ای که مجاز به استفاده از ماشین حساب هستند خیلی کاربرد دارد. البته بسته به نیازی که دارید می توم براتون مطالبی را مهیا کنم. البته لطفا به صورت دقیق پایه و نوع مطلبی را که می خواهید با ماشین حساب عرضه کنید بیان نمایید. اکیدا برای دانش آموزان استفاده از ماشین حساب را مناسب نمی دونم چون یکی از نقاط ضعف داوطلبان کنکور همین بخش محاسبات است و سوق پیدا کردن بچه ها به سمت ماشین حساب عملا ضعف محاسباتی آنها را بیشتر می کند. در صورت تمایل با آیدی @rezabaghdar در پیام رسان های بله، سروش و گپ در خدمتتان هستم.

      Reply
    • محمد

      شما معلمان مارو بدبخت کردید با ماشین حساب معلمای من از شیشم با ماشین حساب برامون آموز ش دادن الآنم که میخواهیم کنکور بدیم دهنمون سرویسه

      Reply
      • reza-baghdar Post author

        محمد جان! به شخصه چون توی پایه های مختلف تدریس می کنم، در تمام کلاسهام استفاده از ماشین حساب ممنوع بوده. حالا بعضی معلما خودشون رو راحت کرده بودن و شما هم خوشحال از محاسبات سریع با ماشین حساب بماند! همه که مثل هم نیستن پسر خوب!

        Reply
  2. بهار

    سلام
    خسته نباشید
    میشه لطف کنید روش محاسبه جمع دوعدد که با نماد علمی نشون داده شده اند رو بفرمایید
    مثلا دو ضربدر ده بتوان منفی سه به اضافه سه ضربدر ده بتوان پنج؟
    ممنون

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام برای جمع این دو عدد که به صورت نماد علمی مطرح شدن، توان بزرگتر را مبنا قرار بدید و عدد دیگه را به صورت یک عدد ضرب در همان توان بیان کنید.
      در مثال شما، ما ده به توان منفی 3 را مبنا می گیریم و حالا 3 ضربدر 10 به توان منفی 5 را به صورت 10 به توان منفی 3 می نویسیم میشه 0.03 ضربدر 10 به توان منفی 3 حالا به سادگی ضرایب 10 به توان منفی 3 را باهم جمع می کنیم. حاصل میشه 2.03 ضربدر 10 به توان منفی 3

      Reply
  3. سحر نظری

    جواب سوال پایین چیست
    عدد ۹ را به توان ۱۲۱ رساندیم یکان ان چند است

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      اگر کمی با دقت توضیحات این صفحه را مطالعه می کردید پاسخ سوالتان را به راحتی پیدا می کردید. در این صفحه گفتیم:
      اگر رقم یکان عدد مورد نظر ما ۹ باشد اگر توانش عدد زوج باشد رقم یکان عدد حاصل یک و اگر توان فرد باشد رقم یکان عدد حاصل ۹ خواهد بود.
      پس چون به توان 121 که عددی فرد است رسیده رقم یکان 9 خواهد بود.

      Reply
  4. بی تا

    توی امتحان میاد عبارات رو به صورت عدد توان دار بنویس اما توی کتاب هیچی درباره طرفین وسطین یا مدل کسریش نگفته😭😭😭😩😫😵😭

    Reply

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *