هندسه و استدلال

آموزش هندسه و استدلال (پایه های هفتم، هشتم و نهم)

آموزش هندسه بخشی از آموزش ریاضیات است که بیشترین تمرکز را بر روی شکل ها به ویژه مثلث، چهارضلعی و دایره دارد و به بررسی ویژگی های آنها می پردازد.
بخش مهمی از آموزش هندسه را اثبات قضایای مربوط به اشکال هندسی تشکیل می دهند. تشابه اشکال هندسی به ویژه مثلثها ، هم نهشتی و استدلال ، بخشهای مهم و کلیدی هستند که در ریاضی نهم با آن آشنا می شوید.
مباحثی که با عنوان هندسه و استدلال در دوره متوسطه اول ارائه می شوند شامل فصول زیر هستند:

کتاب ریاضی هفتم: فصل چهارم- هندسه و استدلال، فصل ششم- سطح و حجم
کتاب ریاضی هشتم: فصل سوم- چندضلعی ها، فصل ششم- مثلث، فصل نهم- دایره
کتاب ریاضی نهم: فصل سوم- هندسه و استدلال در هندسه، فصل هشتم- حجم و سطح

آموزش هندسه – مبحث چند ضلعی ها

در صفحه آموزش هندسه مهندس باغدار سعی شده است همه موارد مرتبط با آموزش هندسه در پایه های هشتم و نهم پوشش داده شود.

چند ضلعی چیست؟ به چه شکلی چند ضلعی گفته می شود؟

در صفحه به هر خطِّ شکسته بسته، چندضلعی گفته می شود به شرط آنکه ضلع ها يکديگر را قطع نکنند؛ مگر در رأس ها که دو ضلع به هم می رسند.

چند ضلعی منتظم چیست؟

اگر در يک چندضلعی همه ضلع ها با هم و همه زاويه ها با هم مساوی باشند، می گوييم آن
چندضلعی ، منتظم است.
چه شکل هایی چند ضلعی نیستند؟ چند ضلعی منتظم چیست؟ چگونه می توان یک محورهای تقارن و مرکز تقارن را مشخص کرد؟چگونه می تواند تشخیص داد نقطه ای مرکز تقارن شکل نیست؟ پاسخ تمامی این پرسشها در فیلم آموزشی زیر:
دانلود فیلم آموزشی هندسه – چندضلعی ها -قسمت اول
به چند ضلعی ای که زاویه های آن کوچک تر از ۱۸۰ درجه باشد، چند ضلعی محدّب (کوژ) و به چندضلعی ای که دست کم یک زاویه آن بزرگ تر از  ۱۸۰ درجه باشد ، چندضلعی مقعر (کاو) گفته می شود.

چهارضلعی ای که ضلع های روبه روی آن دو به دو با هم موازی اند، متوازی الاضلاع نام دارد.

خواص متوازی الاضلاع

در هر متوازی الاضلاع، زاویه های رو به رو با هم و ضلع های رو به رو نیز با هم برابرند.
در هر متوازی الاضلاع قطرها، یکدیگر را نصف می کنند.
در هر متوازی الاضلاع ، زاویه های مجاور مکمل هستند.

مستطیل متوازی الاضلاعی است که زاویه های قائمه دارد.

نکته) هر چهارضلعی که زاویه های داخلی آن قائم باشد، مستطیل است.
ویژگی خاص مستطیل: در مستطیل قطرها با هم برابرند

مربع متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع مساوی و زاویه های قائمه دارد. 

ویژگی خاص مربع:در مربع قطرها با هم برابرند و عمود منصف همدیگرند.

لوزی متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع آن برابرند.

ویژگی خاص لوزی: در لوزی قطرها بر هم عمودند.

نتیجه: مربع یک لوزی است که زاویه های آن ۹۰ درجه است.

مجموع زاویه های داخلی هر چهارضلعی ° ۳۶۰ می شود.

خودتان را محک بزنید. تست ۶۸ از آزمون ۴ دیماه ۱۳۹۴ قلمچی برای دوستان پایه هشتم :
آموزش هندسه -تست از چهارضلعی ها

کمی فکر کنید و جواب خودتان را با راه حل ارائه شده مقایسه کنید.
.
.
.
.
.
.
پاسخ ارائه شده در دفترچه پاسخنامه قلمچی:
آموزش هندسه - پاسخ تست آزمون قلمچی

آموزش هندسه – مبحث زاویه های داخلی و خارجی

مجموع زاویه های داخلی یک n ضلعی چند درجه است؟

به کمک شکل زیر به سادگی رابطه مربوط به مجموع زاویه های داخلی یک چندضلعی دلخواه به دست می آید.


با توجه به شکل ، کافی است از تعداد اضلاع دو واحد کم کنیم و حاصل را در ۱۸۰ ضرب نماییم تا مجموع زاویه های داخلی به دست آید.
در یک چند ضلعی منتظم ، برای یافتن اندازه هر زاویه داخلی کافی است مجموع زوایای داخلی را بر تعداد زوایا تقسیم کنیم.

مجموع زاویه های خارجی یک n ضلعی محدب چند درجه است؟

مجموع زاویه های خارجی یک n ضلعی محدب ۳۶۰ درجه است.
برای افزایش تسلط شما تمرینی از کتاب ریاضی تکمیلی پایه هشتم، ویژه مدارس استعدادهای درخشان، را بررسی می کنیم.
مجموع زاویه ها در ستاره از کتاب ریاضی تکمیلی هشتم
برای اولین شکل از سمت چپ، مجموع زاویه های خواسته شده با روش زیر به سادگی ۱۸۰ درجه به دست می آید.
مجموع زاویه ها در ستاره پنج پر
با روشی مشابه ، مجموع زاویه ها در دو شکل دیگر نیز به دست می آید.

آموزش هندسه – مبحث مثلث قائم الزاویه و رابطه فیثاغورس

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یک زاویه ۹۰ درجه دارد.
به ضلع روبروی این زاویه وتر گقته می شود. وتر بزرگترین ضلع مثلث قائم الزاویه است.
با توجه به این که مجموع زاویه های یک مثلث ۱۸۰ درجه است لذا دو زاویه دیگر مثلث قائم الزاویه متمم هم هستند.
رابطه ميان مجذور (مربع) اندازه ضلع های مثلث قائم الزاويه، به رابطه فيثاغورس معروف است.

اين رابطه بيان می کند که در هر مثلث قائم الزاويه، مجذور وتر با مجموع مجذورهای دو ضلع ديگر برابر است.

a2=b2+c2

عکس اين رابطه هم درست است؛ يعنی، اگر در مثلثی مجذور يک ضلع با مجموع مجذورهای دو ضلع ديگر آن برابر شد، آن مثلث قائم الزاويه است.

هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه

در ویدئوی زیر با حل یک مثال مشابه تمرینات کتاب درسی کاربرد رابطه فیثاغورس آموزش داده می شود:

دو حالت ديگر برای هم نهشتیِ دو مثلث قائم الزاويه:

برابری وتر و يک ضلع يا به اختصار (و ض) :چون طبق رابطه فیثاغورس ضلع سوم دو مثلث برابر خواهد بود عملا حالت ساده شده (ض ض ض) است.

برابری وتر و يک زاويه تند يا به اختصار (و ز): چون مجموع زاویه های داخلی ۱۸۰ درجه است پس زاویه دیگر مجاور وتر در دو مثلث برابر هستند و این حالت حالت خاص زض ز است.

نکات مهم در مثلث قائم الزاویه:

اگر یک زاویه ۳۰ درجه در آن وجود داشته باشد، ضلع مقابل به زاویه ۳۰ درجه نصف وتر است.

اگر یک زاویه ۴۵ درجه در آن وجود داشته باشد، مثلث متساوی الساقین خواهد بود و وتر رادیکال دو برابر ضلع زاویه قائمه خواهد بود.
بخشی از جزوه مثلث و رابطه فیثاغورس مهندس رضا باغدار
برای تسلط بیشتر بر مفاهیم این فصل تمریناتی از کتاب ریاضی هشتم تکمیلی سمپاد به همراه حل آنها را در زیر می توانید دنبال کنید.

اثبات از ریاضی تکمیلی هشتم (تیزهوشان)


اما پاسخ تمرین بالا (لطفا بعد از اینکه تلاش کافی برای حل انجام دادید به سراغ پاسخ بیایید.)

ابتدا اندازه اضلاع دو مثلث را می یابیم.

یافتن اندازه اضلاع – پاسخ سوالات ریاضی تکمیلی هشتم


با توجه به شکل و اندازه های به دست آمده می توان به سادگی زاویه ها را به دست آورد.

پاسخ سوالی از ریاضی تکمیلی هشتم

یکی از تمرینات بسیار زیبای این فصل در کتاب ریاضی هشتم، مساله کفشدوزک است. این تمرین به صورت زیر است:

مساله کفشدوزک ریاضی هشتم سمپاد

برای حل مساله کفشدوزک کافی است شما گسترده مکعبی را در نظر بگیرید و سپس بخشی از آن را که قرار است کفشدوزک از آن عبور کند با یک خط راست به هم وصل کنید. طول این خط راست کمترین مسافتی است که کفشدوزک روی دیوار و سقف طی خواهد کرد. یه شکل و محاسبه زیر توجه کنید:

پاسخ مساله کفشدوزک از ریاضی تکمیلی هشتم

تمرینات مثلث قائم الزاویه (فصل ششم ریاضی هشتم) ویژه دانش آموزان کلاس تکمیلی – زمستان 97

تمرینات سری اول فصل ششم – رابطه فیثاغورس و مثلث قائم الزاویه

خلاصه درس بخش دوم از مثلث قائم الزاویه و رابطه فیثاغورس

آموزش هندسه – مبحث دایره و زاویه محاطی و مرکزی

ورود به صفحه دایره

آموزش هندسه – مبحث استدلال – هم نهشتی

استدلال و اثبات در هندسه

استدلال و اثبات در هندسه


استدلال یعنی دلیل آوردن که معمولا برای اثبات موضوعی یا یافتن چیزی که مجهول و نامعلوم است، به کار می رود.
مفهوم استدلال در هندسه و ریاضیات با دلیل آوردن های روزانه ما اندکی متفاوت است.
یک استدلال ریاضی یا هندسی در صورت مهیا بودن فرضیات همیشه درست است.
می توان ثابت کرد قطرهای مستطیل باهم برابرند. برای این کار کافی است هم نهشتی دو مثلث که هریک شامل یکی از قطرهای مستطیل است را اثبات کرد. (ض ز ض)
اما مواردی شبیه این که ممکن است شما با دیدن چند مثلث که ارتفاع آن ها درون مثلث قرار گرفته است بگویید همیشه ارتفاع مثلث درون مثلث قرار می گیرد. یک استدلال ریاضی نیست.

آیا ارتقاع مثلث همیشه درون آن قرار می گیرد؟(استدالال نادرست)

آیا ارتقاع مثلث همیشه درون آن قرار می گیرد؟(استدالال نادرست)

همان طور که در مثلث های بالا دیدید ارتفاع درون مثلث قرار گرفت.
آیا می توان نتیجه گرفت همیشه ارتفاع درون مثلث قرار می گیرد؟
اگر شما یک مثلث با زاویه باز رسم کنید می بینید که ارتفاع در خارج مثلث قرار می گیرد.
پس می توان فهمید که این استدلال که چون برای چند مثلث ارتفاع درون شکل قرار گرفته است، پس همیشه ارتفاع درون مثلث است، اشتباه می باشد.
نتیجه: به تشخیصی که از طریق شهود به دست می آید همیشه نمی توان به عنوان یک استدلال نگاه کرد.

تفاوت فرض و حکم چیست؟ چگونه فرض و حکم را تشخیص دهیم؟

در یک مساله هندسی ، فرض آن چیزی است که داده شده است.
در اثبات برابری قطرهای یک مستطیل ، تساوی اضلاع روبرو، توازی اضلاع روبرو و قائمه بودن زاویه های چهارضلعی همگی فرض های مساله هستند چون گفته شده است چهارضلعی مستطیل است.
حکم ، چیزی است که قرار است آن را اثبات کنیم یا درستی آن را بررسی نماییم. در مثال قبل برابری قطرها حکم مساله است.
توجه کنید که در استدلال برای اثبات درستی حکم ، در خود فرضیات از حکم استفاده نکنید. این مورد از اشتباهات رایج دانش آموزان است.

مثال نقض چیست؟ کاربرد مثال نقض کجاست؟

ارائه مثالی برای نشان دادن نادرستی یک عبارت یا گزاره را مثال نقض می گویند. زیرا مثال نقض درستی یک عبارت را نقض می کند.

آموزش هندسه – مبحث اشکال متشابه و تشابه

در فصل هندسه و استدلال در کتاب ریاضی نهم تعریف اشکال متشابه به صورت زیر بیان می شود:
هندسه و تشابه

نسبت تشابه چیست؟

به نسبت دو ضلع متناظر در دو شکل متشابه، نسبت تشابه می گویند.
دو مثلث زیر متشابه هستند. زیرا نسبت اضلاع متناظر برابر است.
مثلث های متشابه
اضلاع AB ، AC و BC به ترتیب با FD ، FE و ED متناظر هستند. نسبت تشابه در این دو شکل ۱ به ۲ (بزرگ به کوچک) یا ۲ به یک است.
نتیجه) اگر اضلاع نظیر به نظیر متناسب باشند، آنگاه زاویه ها نظیر به نظیر برابرند.

آیا هر دو مثلث متساوی الاضلاع متشابه اند؟ چرا؟

چون اضلاع متناسب هستند و تمام زوایا برابرند (شصت درجه) هر دو مثلث متساوی الاضلاع متشابه هستند. مثلا اگر اندازه ضلع یکی از مثلثها دو و اندازه ضلع دیگر یک باشد نسبت تشابه دو به یک است.

آیا هر دو n ضلعی منتظم با هم متشابه اند؟ چرا؟

بله. چون زوایای داخلی با هم نظیر به نظیر برابرند. از طرفی نسبت اضلاع نیز مقدار ثابتی است.

آیا هر دو مثلث متساوی الساقین متشابه اند؟ چرا؟

خیر. زیرا لزوما زوایه ها نظیر به نظیر برابر نیستند. مثلا زوایه های داخلی می تواند ۹۰ ، ۴۵ و ۴۵ باشد یا ۸۰ ، ۵۰ و ۵۰ که چون زوایای متناظر مساوی نیستند پس دو مثلث متشابه نیستند.

نکات تکمیلی تشابه دو مثلث

دانش آموزان پایه نهم در مدارس تیزهوشان این نکات را می آموزند.
و دانش آموزان پایه یازدهم رشته تجربی در فصل دوم کتاب ریاضی 2 این نکات را می آموزند.

تشابه دو مثلث دلخواه

تشابه دو مثلث دلخواه


برای تشابه دو مثلث کافی است یکی از حالتهای زیر رخ دهد:
دو زاویه از مثلثها نظیر به نظیر برابر باشند. یعنی
اثبات تشابه دو مثلث با دو زاویه برابر

اثبات تشابه دو مثلث با دو زاویه برابر

دو ضلع نظیر به نظیر با یک نسبت تناسب متناسب باشند و زاویه بین آنها نیز برابر باشد.

تشابه دو مثلث با ضلع متناظر متناسب

تشابه دو مثلث با ضلع متناظر متناسب

اضلاع نظیر به نظیر با یک نسبت تناسب ، متناسب باشند.

تشابه دو مثلث با سه ضلع متناسب

تشابه دو مثلث با سه ضلع متناسب


با دانستن نکات تکمیلی این مبحث، به سراغ حل یک تست به ظاهر دشوار می رویم:
تستی تیزهوشانی از تشابه
بازگشت به صفحه آموزش ریاضی پایه نهم

33 Replies to “هندسه و استدلال”

  1. Zz

    سلام ببخشید در سوال 2 صفحه 51 ریاضی نهم مثلث ها به حالت دو زاویه و ضلع بین هم نهشت هستند؟

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام
      بله دو مثلث بنا به حالت دو زاویه و ضلع بین هم نهشت هستند. زاویه 90 درجه در محل مماسها و زاویه های متقابل به راس در مرکز دایره دو زاویه برابر را تشکیل می دهند و شعاع هم به عنوان ضلع بین این دو زاویه قرار گرفته است.

      Reply
  2. DORSA

    سلام خسته نباشید
    میشه اثبات اینکه در متوازی الاضلاع قطر ها همدیگر را نصف میکنند رو بگید
    (از حالت های هم نهشتی مثلثات)

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام سلامت باشید
      دو تا مثلث کوچک روبروی هم که در این حالت ایجاد میشه را در نظر بگیر.
      دو تا ضلع روبروی متوازی الاضلاع با هم برابر هستند و این یعنی یک ضلع دو مثلث نظیر به نظیر با هم برابره
      از طرفی با توجه به موازی بودن اضلاع دو زاویه داخل مثلث که در مجاورت ضلع قرار گرفتن هم با هم برابر می شن
      پس دو مثلث بنابه حالت ز ض ز هم نهشت هستند.

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      میانه را خطی تعریف می کنیم که راس مقابل به وسط ضلع وصل شود و لذا به نظر می رسد فقط در مثلثها قابل تعریف است. مگر با تساهل و تسامح برای خطوطی که از یکی از رئوس به وسط ضلع متصل شوند نیز به کار گرفته شود.

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      برای اثبات این موضوع کافیه قطرهای مستطیل را رسم کنید و دو تا از مثلث های بزرگی که می بینید به طوری که هر کدوم شامل یکی از قطرها باشد را در نظر بگیرید و ثابت کنید با هم هم نهشت هستند. (حالت هم نهشتی ض ز ض خواهد بود)

      Reply
      • DORSA

        البته از راه( وض) هم میشه چون مثلث ها هر دو قائم الزاویه هستند و وتر مشترک هست و ضلع های رو به رو مثلث ها با هم برابرند

        Reply
        • reza-baghdar Post author

          در متوازی الاضلاع زاویه ها لزوما 90 درجه نیستند. احتمالا منظورتون مستطیل بوده که باز هم روش گفته شده ز ض ز برای اثبات همنهشتی آنها استفاده میشه

          Reply
  3. محمد

    با سلام. در اثبات شکل ها ما باید در آخر یعنی وقتی نتیجه گیری میکنیم حالت هاشون هم بنویسیم برای مثال :زض ز و … چجوری باید این حالت ها رو پیدا کنیم؟

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام
      شما در ریاضی هشتم در کل با سه حالت هم نهشتی در کلیه مثلثها آشنا شدید و دو حالت هم خاص مثلث قائم الزاویه وجود دارد که در فصل مثلث قائم الزاویه آنها را دیدید. حالا هر وقت استدلال کردید ببینید چه اجزایی با هم برابر شدند که از برابری آنها هم نهشتی را نتیجه گرفتید. مثلا اگر سه ضلع دو مثلث نظیر به نظیر با هم برابر باشند(هر ضلع یکی با یک ضلع از مثلث دیگر برابر شود.) دو مثلث به حالت ض ض ض هم نهشت می شوند. اگر دو ضلع و زاویه بین دو ضلع در دو مثلث مساوی شود حالت هم نهشتی ض ز ض می شود. به همین ترتیب می توانید بقیه حالات را هم تشخیص دهید. دقت کنید نباید از خواسته مسئله یا همان حکم در اثبات هم نهشتی استفاده شود.

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      بله. زیرا زوایه ها نظیر به نظیر برابرند(دو زاویه 45 درجه و یک زاویه 90 درجه) از طرفی نسبت اضلاع نیز ثابت خواهد بود. چون وتر در این نوع مثلثها به رادیکال دو برابر اضلاع است یعنی اضلاع با هم متناسب هستند.(با داشتن یک ضلع می توان سایر اضلاع را به دست آورد پس در دو مثلث نسبت اضلاع متناظر ثابت خواهد بود.
      سوال قشنگی بود امیر!

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      منظور از استدلال شهودی، حدس زدن جواب یا ساختن فرضیه با رسم چند شکل یا تعمیم برخی نکات است در مسائلی نظیر “شکل حاصل از اتصال وسط اضلاع متوازی الاضلاع” یا “شکل حاصل از اتصال وسط اضلاع مستطیل” این روش کمک می کند بتوان جواب را حدس زد و به دنبال استباط دقیق آن بود (البته در برخی تستها همین حدس کارگشاست!) اما برای برخی مسائل گمراه کننده است. مثلا محل برخورد ارتفاع های یک مثلث به خاطر رسم چند مثلث با زاویه تند که در داخل شکل قرار گرفته، به نظر می رسد همواره در داخل مثلث قرار می گیرد (شهود) اما با رسم مثلثی با یک زاویه باز به نادرستی آن پی می بریم. اصولا استدلال شهودی مقدمه خوبی برای استدلال استنتاجی است اما فقط مقدمه است.

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      چند ضلعی های منتظم با هم متشابه هستند اما لزوما هم نهشت نیستند. دقت کنید زمانی دو شکل هم نهشت هستند که اندازه اضلاع متناظر برابر باشند. مثلا دو مثلث متساوی الاضلاع با اندازه ضلع یک واحد با متساوی الاضلاع با اندازه ضلع دو واحد با هم متشابه هستند اما هم نهشت نیستند.

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام
      مربع ها با هم نهشت نیستند چون اندازه اضلاع یکی می تواند 2 و اندازه ضلع مربع دیگر مثلا 4 باشد که با هم برابر نیستند لذا هم نهشت نیستند اما متشابه هستند زیرا تمام زاویه ها برابرندو اضلاع متناسبند یعنی با یک نسبت اضلاع تغییر کرده است.

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      نسبت تشابه بسته به نوع مساله بدست میاد. مثلا اگر در مساله اندازه اضلاع داده شده باشه، کافیه اضلاع متناظر شناسایی بشه و حاصل تقسیم اندازه دو ضلع متناظر میشه نسبت تشابه. به مثالهای ارائه شده و تمرینات کتاب درسی نهم و دهم که توجه کنید با جزییات بیشتر مطلب رو می تونید دنبال کنید. سوالتون خیلی کلی بود!

      Reply
    • reza-baghdar Post author

      خیر لوزی مربع نیست چون در لوزی لزوما همه زاویه ها برابر نیستند. اما مربع لوزی هست زیرا تمام اضلاع آن با هم برابرند.

      Reply
  4. پژمان

    با رسم هر ارتفاع در هر مثلث متساوی الساقین ، دو مثلث هم نهشت ایجاد می‌شود. آیا درست است؟

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      پژمان عزیز!
      اگر دقت کنی می بینی فقط با رسم ارتفاع وارد بر قاعده (به جز ساقها) دو مثلث هم نهشت ایجاد می شود. اما اگر ارتفاع وارد بر ساقها را رسم کنیم لزوما دو مثلث هم نهشت به دست نمی آید.
      در تکمیل بحث می توان گفت، هر وقت ارتفاع، عمود منصف و نیمساز زاویه باشد دو مثلث ایجاد شده توسط آن هم نهشت هستند. در مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع وارد بر هر ضلع آن را به دو مثلث هم نهشت تقسیم می کند.

      Reply
        • reza-baghdar Post author

          شما منظورتون اثبات هم نهشتی مثلثهای حاصل از رسم ارتفاع وارد بر قاعده مثلث متساوی الساقین است؟
          این دو مثلث بنا به حالت وتر و یک زاویه تند و همچنین ض ز ض هم نهشت می شوند.

          Reply
        • reza-baghdar Post author

          منظورتون کدام اثبات است؟
          منظورتون هم نهشتی دو مثلث حاصل از رسم ارتفاع در مثلث متساوی الساقین است؟

          Reply

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *