اتحاد و تجزیه

اتحادهای جبری ریاضی نهم و مفاهیم عبارتهای جبری به همراه نکاتی از معادله درجه دوم (ریاضی دهم)

اتحادهای جبری در فصل پنجم ریاضی نهم با عنوان عبارتهای جبری مطرح می شود. این بخش ادامه مباحثی است که در ریاضی هفتم و هشتم در مورد متغیرها، جبر و معادله با آن آشنا شده اید.

در صورتی که بر روی این مفاهیم مسلط نیستید؛ بهتر است قبل از ورود به مطالب این بخش ، به صفحه جبر و معادله سایت مراجعه کنید.

ورود به صفحه جبر و معادله

اتحادهای جبری یکی از مباحثی است که تستهای ترکیبی از آن زیاد مطرح می شود. لذا تسلط بر آن بسیار مهم می باشد.

تک جمله ای چیست؟ درجه چند جمله ای چگونه مشخص می شود؟

یک جمله ای از حاصل ضرب یک عدد حقیقی در متغیر(یا متغیرهایی) با توان صحیح نامنفی به دست می آید.

از جمع و تفریق یک جمله ای ها چند جمله ای ها به دست می آیند.

درجه چند جمله ای نسبت به یک متغیر:

بزرگترین توان آن متغیر در چند جمله ای است.
برای تسط بشتر به مفهوم درجه چند جمله ای ویدئوی زیر را مشاهده کنید.  در این ویدئو نحوه تعیین ضریب یک جمله مشخص در حاصل ضرب چند جمله ای ها نیز بررسی شده است.

اتحاد و تجزیه

اتحاد چیست؟

منظور از اتحادهای جبری چیست؟

تفاوت اتحاد با معادله در چیست؟

اگر تساوی دو عبارت جبری به ازای هر مقدار برای متغیرهایشان برقرار باشد؛ این تساوی اتحاد نامیده می شود.

اتحادهای جبری زیادی وجود دارند. برای دانش آموزان پایه نهم سه اتحاد مربع، مزدوج و جمله مشترک بیشتر مورد تاکید بوده است. این امر هم در کتاب درسی و هم در تستهای آزمونهای ورودی تیزهوشان رعایت شده است.
تفاوت میان یک اتحاد جبری و یک معادله جبری در این است که:

اتحاد جبری به ازای همه مقادیر دامنه برقرار است. در صورتی که یک معادله جبری به ازای تعداد محدودی از اعضای دامنه (مجموعه جواب معادله) برقرار است.

منظور از برقرار بودن اتحاد یا معادله (تساوی های جبری) تبدیل شدن به یک تساوی عددی است.

دامنه چیست؟

به محدوده ای از متغیرها که مقدار عبارت جبری در آنها از نظر ریاضی با معنا باشد دامنه گفته می شود. مثلا دامنه همه چندجمله ای ها مجموعه اعداد حقیقی و دامنه رادیکال x اعداد حقیقی نامنفی است.

اتحادهای جبری مهم در ریاضی نهم:

اتحاد مربع دو جمله ای

اولین اتحادی که لازم است آن را بیاموزید؛ اتحاد مربع دو جمله ای است. مربع دو جمله ای می تواند مربوط به حالت جمع دو جمله یا تقاضل دو جمله باشد.
در شکل زیر اثبات هندسی اتحاد مربع مجموع دو جمله ای را می بینید.

اتحاد مربع دو جمله ای با شکل
مساحت بزرگترین مربع شکل فوق به ضلع a+b برابر است با مساحت دو مربع و دو مستطیل درون آن.

اتحاد مربع دو جمله ای

همان طور که می بینید؛ مربع مجموع دو جمله برابر است با:

جمله اول به توان دو، به علاوه دو برابر اولی(یا همان جمله اول) در دومی (یا همان جمله دوم) به علاوه جمله دوم به توان دو.
برای حالتی که بین دو جمله علامت منفی وجود داشته باشد، با مربع تفاضل دو جمله ای مواجه هستیم. برای محاسبه طرف دوم اتحاد کافی است به صورت زیر عمل کنیم:

برای دانلود ویدئوی آموزشی کاربرد این اتحاد که پیشتر برای سایت قبلی آماده شده بود می توانید به لینک زیر مراجعه کنید.
لینک دانلود اتحاد مربع دو جمله ای

مسائل مبحث اتحاد و تجزیه بسیار متنوع هستند و برای پاسخگویی به آنها لازم است کاملا به اتحاد مسلط باشید.

نکات کلیدی اتحاد مربع دو جمله ای

در مورد اتحاد مربع دو جمله ای و نیز تجزیه عبارت های جبری برمبنای این اتحاد به موارد زیر دقت کنید، زیرا طراحان تستها با توجه به این نکات تسلط شما را می سنجند:
اگر با سه جمله مواجه شدید که یک جمله آن زوج بود حتما برای تجزیه، اتحاد دو جمله ای را مورد ارزیابی قرار دهید.
در مواقعی که با دوجمله زیر رادیکال مواجه هستید که یکی بدون رادیکال و دیگری شامل رادیکال است عموماً ساده شده یک اتحاد مربع دو جمله ای است که دو جمله از سه جمله با هم جمع شده اند و در نتیجه به جای سه جمله تنها دو جمله را می بینید.
اتحاد و رادیکالها
نمونه ای از کاربرد این نکته را در تست کنکور زیر می بینید:
اتحاد مربع دوجمله ای برای محاسبه رادیکالها
اگر دو جمله شامل متغیرهای معکوس هم باشند، جمله شامل دوبرابر حاصل ضرب دو جمله به عدد ثابت منجر می شود.

نکته مهم دیگری که باید خیلی به آن توجه کنید این است که اگر همه جملات عبارتی که می خواهید آن را تجزیه کنید بر جمله مشترکی بخش پذیر باشند حتما از آن جمله فاکتور بگیرید تا یک مرحله از تجزیه را به خوبی انجام داده باشید.

تجزیه به کمک فاکتورگیری و اتحاد مربع دو جمله

در نمونه بالا هر سه جمله به ۵xy بخش پذیر هستند پس ابتدا باید از ۵xy فاکتور بگیرید.

حال به یک سه جمله ای رسیده اید که یک ضریب زوج دارد و وقت آن است که اتحاد مربع کامل را برای آن بررسی نمایید. با این کار به راحتی تجزیه به صورت کامل انجام شده است.
تمرین) ثابت کنید در هر متوازی الاضلاع مجموع مربع دو قطر برابر است با مجموع مربعات اضلاع.
.
.
.
.
.
راهنمایی: برای حل این سوال شما از رابطه فیثاغورس و اتحاد مربع دو جمله‌ای می‌توانید استفاده کنید.

در حالت خاص که متوازی الاضلاع به مستطیل تبدیل می‌شود اثبات خیلی راحت تر انجام می شود.

اتحاد مزدوج

یکی از تسهای تیزهوشانی سال ۹۵ قلمچی که ترکیبی از مبحث اتحاد مزدوج و قدرمطلق است؛ در زیر مشاهده می کنید.
تستی ترکیبی از مبحث قدرمطلق و اتحاد
از لینک دانلود زیر می توانید حل کامل این تست را مشاهده کنید.

در این فیلم، ابتدا راه حل ارائه شده در دفترچه پاسخ نامه توضیح داده می شود و سپس یک راه حل کوتاه تر برای دستیابی به پاسخ تست ارائه می گردد.
لینک دانلود رایگان فیلم آموزشی تست تیزهوشانی قلمچی با راه حلی کوتاه

اتحاد جمله مشترک

اتحاد جمله مشترک، از ضرب دو چند جمله ای به دست می آید که بخشی از آنها مشابه هم یا اصطلاحا مشترک هستند و بخشی از آنها مشترک نیست یعنی غیر یکسان یا به اصطلاح غیر مشترک است.

ساده ترین شکل نمایش این اتحاد به صورت زیر است.

اتحاد جمله مشترک همراه با یک مثال

اتحاد جمله مشترک همراه با یک مثال

x جمله مشترک و a و b جملات غیر مشترک هستند.
برای تجزیه به کمک این اتحاد به موارد زیر دقت کنید:
عبارت دارای حداقل سه جمله می باشد.
یک عبارت مربع کامل در بین این سه جمله وجود دارد که همان مجذور جلمه مشترک است.

عبارتی که در جمله مشترک ضرب شده است بیانگر مجموع دو جمله غیرمشترک است.
عبارتی که شامل جمله مشترک نیست همان حاصل ضرب غیرمشترکها را نشان می دهد.

اگر جملات غیر مشترک عدد ثابت باشند – غالبا جملات غیر مشترک در ریاضی نهم عدد ثابت داده می شوند.

توجه به علامت حاصل ضرب هم علامت یا ناهم علامت بودن جملات غیرمشترک را نشان می دهد.
اگر حاصل ضرب مثبت بود یعنی دو جمله هم علامت هستند و اگر حاصل ضرب منفی بود یعنی دو جمله غیرمشترک ناهم علامت هستند یا به عبارتی یکی مثبت و دیگری منفی است.
حال با توجه به مجموع دو جمله غیرمشترک که ضریب جمله مشترک شده است، می توانید با حدس و آزمایش جملات غیرمشترک را بیابید.

ریشه یک چند جمله ای چیست؟ ریشه یک چند جمله ای چگونه به دست می آید؟

در کتاب ریاضی تکمیلی سمپاد دانش آموزان با مفهوم ریشه یک عبارت جبری آشنا می شوند.
منظور از ریشه یک چند جمله ای مقادیری برای متغیرهای آن چند جمله ای است که آن را صفر می کنند. یعنی جوابهای معادله ای که از برابر صفر قرار دادن عبارت جبری به دست می آید را ریشه های عبارت جبری گویند.
با این توضیحات به سراغ یکی از تمرینات بسیار زیبای کتاب ریاضی تکمیلی نهم می رویم.

برای حل این تمرین، عبارت درجه دوم را از ضرب دو عبارت درجه اول به دست آورید که ریشه های آن همین اعدادی باشد که در تمرین داده شده است.

معادله درجه دوم و روش دلتا – تکمیلی ریاضی نهم – ریاضی دهم

معمولا در این فصل به عنوان مبحث تکمیلی حل معادله درجه دوم به کمک مبین این معادله یا همان دلتا آموزش داده می شود.
بحث اصلی این بخش مربوط ریاضی دهم است و آموزش کامل آن در کتاب ریاضی پایه دهم در تمامی رشته های ریاضی ، تجربی و انسانی وجود دارد.

برای آشنایی شما عزیزان و تکمیل بحث اتحاد و تجزیه در ویدئوی زیر به معرفی معادله درجه دوم و نحوه تعیین دلتا می پردازیم.

در صورت تمایل به مشاهده سایر مباحث آموزشی مربوط به ریاضی متوسطه اول روی لینک مربوط کلیک کنید.
ورود به صفحه ریاضی هشتم
ورود به صفحه ریاضی نهم

تمرینات ویژه دانش آموزان عزیزم
تمرین سری اول فصل پنجم


جزوه خلاصه درس اتحاد و تجزیه

جزوه کوتاه و کامل این فصل در اختیار شماست.

این جزوه همراه با مثالهای حل شده است . این جزوه مربوط به کلاس حضوری نیمسال دوم 98-97 مهندس رضا باغدار تدریس است.

با واریز 1000 تومان به شماره کارت 5859831036176732 (بانک تجارت) می توانید رمز فایل را دریافت نمایید.

لطفا بعد واریز تصویر فیش واریزی را به ایمیل Reza.baghdar@gmail.com  ارسال کنید تا پسورد فایل در اختیارتان قرار گیرد.

مژده! دوستان ویرایش جزوه با حل سوالات آن به صورت تایپ شده تا پایان آذر ماه 98 در سایت قرار می گیرد.

4 Replies to “اتحاد و تجزیه”

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *