توان و ریشه (توان و جذر)

نکات و مفاهیم آموزشی توان و ریشه در ریاضی دوره متوسطه اول (هفتم تا نهم)

عددهای توان دار چگونه نمایش داده می شوند؟

فصل هفتم کتاب های ریاضی پایه های هفتم و هشتم با عنوان توان و جذر و فصل چهارم کتاب ریاضی پایه نهم با عنوان توان و ریشه در این بخش مورد توجه قرار می گیرد.
این بخش یکی از کاربردی ترین فصول ریاضی است که در
مسابقات ریاضی به ویژه مسابقه های جهانی نظیر IMC و المپیادهای داخلی
دروس ریاضی متوسطه دوره دوم

نیز مورد توجه قرار می گیرد.

بیان ساده مفهوم توان برای عددهای توان دار

مفهوم ضرب : به جای نوشتن ۵ تا عدد ۳ که با هم جمع می شوند می توان از عمل ضرب استفاده کرد و نوشت ۵ ضرب در ۳.
در سال هفتم با مفهوم توان آشنا شدید که برای ساده تر نوشته شدن ضرب اعداد به کار می رود.
مثلا اگر ده بار عدد ۳ را در خودش ضرب کنیم می توانیم بنویسم ۳ به توان ۱۰.

به طور کلی منظور از توان m ام عدد a یعنی a را m بار در خودش ضرب کنیم. حال اگر a دو بار در خودش ضرب شود توان a دو خواهد بود. توان به صورت یک عدد کوچک در بالای عددی که در ضرب تکرار می شود و به آن پایه می گوییم نوشته می شود.
در شکل زیر ۳ توان و ۲ پایه است.

نمایش عددهای توان دار

عملیات ریاضی روی عددهای توان دار شامل ضرب و تقسیم، جمع و تفریق و توان رسانی

توان رسانی عددهای توان دار

اگر عدد توان داری داخل یک پرانتز قرار گیرد و برای پرانتز توانی قرار داده شود حاصل یک عدد خواهد بود که پایه آن به توان حاصل ضرب توان ها رسیده است.

به توان رساندن عددهای توان دار

برای ساده کردن عبارت های توان دار با پایه های مساوی :

یکی از پایه ها را نوشته و اگر اعداد در هم ضرب می شدند توان ها را جمع و اگر بر هم تقسیم می شدند توان ها را کم می کنیم.

برای ساده کردن عبارت های توان دار با توان های مساوی:

توان را نوشته و محاسبات را انجام می دهیم.(فقط در ضرب و تقسیم)
دقت کنید که برای ضرب یا تقسیم فقط باید یکی از دو حالت بالا رخ دهد تا بتوانیم دو عدد توان دار را در یکدیگر ضرب یا تقسیم کنیم.
اگر چنان چه به ظاهر هیچ کدام از دو حالت بالا را ندادیم باید به استفاده از ساده تر نوشتن اعداد یا ترکیب آن ها کاری کنیم که یکی از دو حالت بالا اتفاق بیفتد.
باید کاری کنیم که به اعداد با پایه های مساوی یا توان های مساوی برسیم تا بتوانیم ضرب یا تقسیم را انجام دهیم.
در مثال زیر یک مورد از ضرب هایی که در آنها ظاهرا هیچ کدام از دو حالت اصلی مد نظر ما رخ نداده است را به یکی از این حالات تبدیل می کنیم.
دقت کنید که موارد گفته شده در مورد ضرب و تقسیم عددهای توان دار بود و شما نباید آن را به جمع و تفریق این اعداد تعمیم دهید.
برای جمع و تفریق عددهای توان دار و نوشتن حاصل به صورت یک عدد توان دار، معمولا این جمع و تفریق به صورت ضرب قابل بیان هستند.
ضرب عددهای توان دار نیازمند یکسان سازی پایه ها
همان طور که در شکل می بینید پایه ها را با هم برابر کردیم تا بتوانیم عمل ضرب را انجام دهیم.
حالا امیدوارم بتونید مثال زیر را به صورت یک عدد توان دار بنویسید.
تمرین برای ضرب اعداد توان دار

منظور از مربع یک عدد چیست؟
مجذور عدد a به چه معناست؟
مکعب یک عدد چگونه محاسبه می شود؟

مربع یا مجذور هر عدد؛ یعنی آن عدد به توان ۲ (کلید حافظه: یادتونه مساحت یک مربع میشه یه ضلع ضربدر خودش )
تذکر: یادتون باشه مربع یک عدد با ربع عدد فرق می کنه ربع یک عدد یعنی یک چهارم اون عدد
مکعب یک عدد؛ یعنی آن عدد به توان ۳ (کلید حافظه: یادنونه می گفتین حجم مکعب میشه ضلع ضربدر ضلع در ضلع یعنی سه بار یه ضلع رو در خودش ضرب کنیم تا حجم مکعب به دست بیاد)
عدد های منفی به توان زوج مثبت می شوند.
یک به هر توانی برسد برابر یک خواهد بود.
هر عدد به جز صفر به توان صفر، برابر است با یک.
هر عدد به توان یک برابر است با خودش.
تمرین) مجذور چه عددی برابر است با یک؟

گسترش مفهوم توان به توان منفی

در سال نهم مفهوم توان گسترده تر مطرح می شود و شما با توان های منفی نیز مواجه می شوید. معکوس عدد توان دار با توان مثبت برایر است با همان عدد توان داری که توانش منفی بوده است.

مفهوم توان منفی
خلاصه آنچه گفتیم را در تصویر زیر در مورد عددهای توان دار مشاهده می کنید.
روابط حاکم بر عددهای توان دار

نماد عملی چیست؟

نشان دادن اعداد به صورت حاصل ضرب یک عدد که قبل از اعشار تنها می تواند دارای یک رقم طبیعی باشد ضربدر توانی از عدد ده.
تعریف نماد علمی

 

برای مقایسه اعداد به صورت نماد علمی چه کنیم؟

برای حل مسائلی نظیر تمرین زیر از کتاب درسی چه راهی وجود دارد؟
مقایسه عددها با نماد علمی
قطعا اول لازم است به بخش توان دار عدد نگاه کنید. هر چه بخش توان دار بزرگتر باشد عدد بزرگتر است. اگر بخش توان های ده یکسان بودند حالا به سراغ عددی که در این عدد تواندار ضرب می شود بروید.
به این ترتیب دومین عدد شکل بالا، بزرگترین عدد و سومین عدد کوچکترین عدد در بین این چهار عدد هستند.

مقایسه اعداد توان دار شبه نماد علمی

مقایسه اعداد توان دار شبه نماد علمی

مقایسه اعداد توان دار

بخشی از مسائل تیزهوشانی مربوط به این مبحث را مقايسه اعداد توان دار تشكيل مي دهد. هر چند با دانستن مطالبی که تا اینجا مطرح کردیم به راحتی می توانید این نوع مسائل را با کمی تکرار و تمرین حل کنید.
برای افزایش سرعت حل مسائل این بخش به دسته بندی زیر توجه کنید:
به طور کلی مي توان مسائل مقایسه عددهای توان دار را به انواع زير تقسيم كرد:

۱- اگر دو عدد داده شده باشند كه پايه هاي يكسان و مثبت و توانهاي مختلف داشته باشند،

عددي بزرگتر است كه توان آن بيشتر باشد. در اینجا دو استثنا داریم اولی مربوط به پایه های کوچکتر از واحد یا کوچکتر از یک است . در كسرهاي كوچكتر از يك اين قاعده برعكس مي شود . یعنی هرچه توان بزرگتر شود عدد کوچکتر خواهد شد. استثنای دوم مروبط به عدد یک است. زیرا یک را به هر توانی برسانیم حاصل برابر یک خواهد بود.
تعمیم) در مورد پايه هاي منفي بايد با احتياط رفتار شود. زیرا توان زوج باعث می شود حاصل یک عدد مثبت به دست آید. از طرفی در مورد اعداد منفی این قاعده کاملا برعکس می شود. یعنی برای اعداد منفی کوچکتر از ۱- هر چه توان کوجکتر باشد عدد بزرگتر خواهد بود(حواستون به توان های زوج باشه چون حاصلش میشه یه عدد مثبت)
مقایسه عددهای توان دار با پایه مثبت

۲- اگر دو عدد داشته باشيم كه پايه هاي مختلف و توانهاي مساوي داشته باشند،

بايد به علامت توان توجه داشته باشيم. اگر توان عددي مثبت باشد، عددي بزرگتر است كه پايه آن بزرگ است و اگر توان عددي منفي باشد، عددي بزرگتر است كه پايه آن كوچكتر باشد. البته دقت داشته باشيد كه فعلاً توجه خود را به مواردي محدود مي كنيم كه پايه ها اعدادي مثبت باشند.

مقایسه عددهای توان دار با توانهای برابر

۳- علامت نهايي اعداد توان دار، اصلي ترين جزء در مقايسه آنها است.

چنانچه حاصل عبارت توان داري ، منفي و حاصل عبارت توان داري مثبت شود، بدون توجه به پايه و توان هاي داده شده، عدد منفي كوچكتر است.

مقایسه عددهای توان دار با پایه منفی

مقایسه عددهای توان دار منفی

۴- در مقايسه اعداد توان داري كه توان هاي آن ها بسيار بزرگ است،

مي توان با كوچكتر كردن توان و مراجعه به موارد قبل عمل مقايسه را انجام داد. در این مورد معمولا بزرگترین شمارنده توان ها را به دست می آوریم تا توانهای مشترک همان ب م م توان ها باشند.
برای درک بهتر این روش ، کافی است به ساده سازی زیر توجه کنید تا بتوانید به راحتی این دو عدد را با هم مقایسه کنید.

مقایسه عددهای توان دار با توان های نامساوی و بزرگ

کدام عدد توان دار بزرگتر است؟

ایجاد توان یکسان برای دو عدد توان دار

تبدیل توان به صورتی که توانهای دو عدد مساوی باشند برای مقایسه عددهای توان دار
مسائل مقایسه اعداد توانی که با این روش حل می شوند بیشتر مورد توجه طراحان سوالات تیزهوشان قرار گرفته است.

۵- در برخي از انواع مقايسه بايد مقايسه به صورت غيرمستقيم صورت پذيرد.

به اين معني كه بين دو عدد توان دار داده شده لازم است يك يا دو واسطه پيدا كرد و از آن كمك گرفت.
مثال) برای مقایسه ۳ بتوان ۴۲ و ۷ به توان ۲۸ به صورت زیر عمل می کنیم:

مقایسه اعداد تواندار به کمک واسطه ها

مقایسه عددهای تواندار به کمک واسطه ها

این حالت سخت ترین حالت مقایسه اعداد تواندار را نشان می دهد و بیشتر برای دانش آموزانی که در سطح تیزهوشان کار می کنند یا برای مسابقات بین المللی خود را آماده می نمایند تسلط بر آن نیاز است و از سطح کتاب درسی بالاتر می باشد.

یافتن رقم یکان عددهای توان دار

برای یافتن رقم یکان عددهای توان دار فقط کافی است به رقم یکان عدد توجه کنیم. یعنی برای یافتن رقم یکان ۱۲۳۴۵۶۷ به هر توانی فقط رقم ۷ که رقم یکان عدد ماست را مورد توجه قرار می دهیم.
اگر رقم یکان عدد مورد نظر ما صفر یا ۱ یا ۵ یا ۶ باشد رقم یکان حاصل (به هر توانی که برسد) برابر خودش خواهد بود. مثلا رقم یکان ۳۴۵۶ به توان ۲۳۴۵۶ برابر ۶ است.
اگر رقم یکان عدد مورد نظر ما ۹ باشد اگر توانش عدد زوج باشد رقم یکان عدد حاصل یک و اگر توان فرد باشد رقم یکان عدد حاصل ۹ خواهد بود.
اگر رقم یکان عدد دیگری باشد، کافی است توان را بر ۴ تقسیم کنیم و یکان را به توان باقیمانده این تقسیم برسانیم. فقط دقت کنید که اگر باقیمانده برابر صفر شد باید رقم یکان را به توان ۴ برسانید.

جذر و ریشه دوم

جذر گرفتن دقیقا عکس عمل به توان ۲ رساندن است. (البته شاید بشه گفت همونه با یه کم تغییر، مثل تقسیم که قابل تبدیل شدن به ضرب هست در مورد جذر و ریشه دوم هم این اتفاق می تونه بیفته، البته چون این روش در کتاب درسی پایه های هفتم، هشتم و نهم نیومده به اون اشاره نمی کنم!)
هدف از یافتن جذر یک عدد(نظیر ۹)، پیدا کردن عدد نامنفی است که اگر آن را به توان دو برسانیم حاصل برابر ۹ می شود. پس جذر ۹ برابر است با ۳. دقت کنید خروجی رادیکال همواره نامنفی است. یعنی:

جذر یک عدد - جذر یک عدد توان دار منفی

جذر یک عدد – جذر یک عدد توان دار منفی

یادآوری: نامنفی یعنی منفی نیست پس یا صفر است یا مثبت. جدر صفر میشه صفر و رادیکال هر عدد مثبتی میشه یه عدد مثبت.
مفهوم ریشه دوم تقریبا معادل جذر یک عدد است. با این تفاوت که جذر یک عدد همیشه نامنفی است. اما ریشه دوم می تواند منفی نیز باشد.
منظور از ریشه دوم یک عدد اعدادی که اگر در خودشان ضرب شوند عدد مورد نظر را تولید می کنند پس ۳ و ۳- ریشه های دوم عدد ۹ هستند.

ریشه های دوم 9

ریشه های دوم 9

در حقیقت هر عدد غیر صفری دو ریشه دوم دارد.
اعداد منفی ریشه دوم حقیقی ندارند زیرا اگر عددی در خودش ضرب شود یا با ضرب دو عدد مثبت مواجه هستیم یا با ضرب دو عدد منفی که در هر صورت حاصل عددی مثبت است.
از راه های یافتن ریشه تقریبی کمک گرفتن از نزدیک ترین مربع کامل نزدیک به عدد مورد نظر ماست.
پس از این که نزدیکترین مربع کامل به عددی که می خواهید جذر آن را به دست آوردید، یافتید، کم کم به ریشه آن عدد مقادیری را می افزایید و سپس مربع آن ها را محاسبه می کنید تا به عدد مورد نظر نزدیک شوید.
این روش که در کتاب درسی به آن اشاره شده است زمان گیر است اما شما را به جواب نزدیک می کند.

آیا روشی تستی برای محاسبه جذر تقریبی اعداد وجود دارد؟

روش تستی و بسیار ساده برای یافتن جذر تقریبی اعداد

یک فرمول تستی هم برای این کار وجود دارد. مثلا اگر بخواهیم جذر عدد ۸۲ را با این فرمول محاسبه کنیم به صورت زیر عمل می نماییم.

روشی سریع برای یافتن جذر تقریبی

روشی سریع برای یافتن جذر تقریبی

همان طور که می بینید به مقدار جذر کوچکترین مربع کامل نزدیک عدد مورد نظر یک کسر اضافه شده است که صورت آن برابر است با تفاضل عدد مورد نظر از مربع کامل (۸۲ منهای ۸۱) و مخرج آن دو برابر جذر ۸۱(دو برابر جذر نزدیک ترین مربع کامل به عدد مورد نظر ۸۲ ) است.
با این فرمول جذر تقریبی ۹۰ برابر است با ۹ بعلاوه کسری با صورت ۹ و مخرج ۱۸یعنی برابر است با ۹.۵.
به اعدادی نظیر ۴،۹،۱۲۱ که از ضرب یک عدد در خودش به دست می آیند مربع کامل می گویند.
این اعداد دارای جذر دقیق هستند. برای سایر اعداد با روش های مختلف می توان جذر تقریبی را به دست آورد.
در جدول ضرب که در دوره ابتدایی با آن آشنا شدید اعداد واقع بر قطری که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین قرار دارند همکی مربع کامل هستند.

ریشه سوم یک عدد چیست؟

مفهوم ریشه سوم یک عدد
برای ضرب و تقسیم رادیکالها و ریشه سوم می توانید جدا سازی یا ادغام را متناسب با نوع مساله انتخاب کنید.
قواعده ضرب و تقسیم ریشه سوم
برای جمع و تفریق اعداد رادیکالی ، باید ابتدا قسمت زیر رادیکالها را در صورت امکان با ساده سازی ، یکسان کنیم و سپس رادیکالهای مشابه را با هم جمع و تفریق نماییم.
جمع و تفریق اعداد رادیکالی
برای درک بهتر مطلب بیان شده ، به مثال زیر از کتاب ریاضی نهم توجه کنید.
روش ساده سازی اعداد رادیکالی

بازگشت به صفحه آموزش ریاضی نهم

چگونه ریشه های اعداد را مقایسه کنیم؟
چگونه محدوده اعداد رادیکالی را تعیین کنیم؟

مقایسه اعداد رادیکالی

مقایسه اعداد رادیکالی

بدترین و در عین حال متداول ترین کاری که یک دانش آموز برای مقایسه این اعداد می تواند انجام دهد این است که مقدار جذر تقریبی را در ضریبی که پشت آن قرار گرفته است ضرب کند تا بتواند مقادیر اعشاری به دست آمده را با هم مقایسه نماید.

آیا راه بهتری وجود برای مقایسه اعداد رادیکالی وجود دارد؟

بله شما می توانید ضریب پشت رادیکال را زیر رادیکال ببرید. برای این کار کافی است آن را به توان دو رسانده و در عدد زیر رادیکال ضرب کنید.
به این ترتیب به سادگی پاسخ گزینه “د” خواهد بود.

7 Replies to “توان و ریشه (توان و جذر)”

  1. هادی

    سلام با سپاس از توضیحات خوب یه اشتباه نوشتاری در مورد توان دار نوشتن ۲۳۰۰ صورت گرفته که توان ۱۰ عدد ۳ خاهد شد

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام
      فکر کنم سوال رو خوب تایپ نکردید چون b به توان 90 خونده میشه. لطفا با دقت تایپ کنید و برای جلوگیری از اشتباه هر دو سمت تساوی رو به فارسی هم بنویسید.

      Reply
  2. ماجده یارقلی

    سلام.اعداد اعشاری ممیز دار،اگر هنگام توان گیری،پرانتز نداشته باشن،نتیجه با وقتی که کل پرانتز به توان میرسه متفاوته؟

    Reply
    • reza-baghdar Post author

      سلام
      در مورد اعداد اعشاری، پرانتز داشتن و نداشتن فرقی نداره اما در مورد اعداد به صورت نماد علمی این موضوع فرق می کنه. دقت کنید منفی داخل پرانتز باشه یا نباشه ربطی به اعشاری یا غیراعشاری بودن عدد نداره و باید حواستون باشه که منفی داخل پرانتزه یا خارج پرانتز.

      Reply

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *