معادله خط

معادله خط چیست؟
چگونه می توان رابطه بین طول و عرض نقاط روی یک خط را به کمک جبر و عبارت های جبری بیان کرد؟معادله های خط به چه معناست؟

هر خطی را که در صفحه مختصات در نظر بگیرید ، رابطه ای بین عرض نقاط روی آن خط و طول آن نقاط می توان نوشت.
به این رابطه که به شکل یک تساوی جبری نوشته می شود معادله خط می گویند.
نیمساز ناحیه اول و سوم خطی است که این دو ناحیه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند و تمام نقاطی که روی آن قرار دارند طول آنها با عرضشان برابر است یعنی مثلا اگر طول نقطه ای روی این خط ۲ باشد عرضش نیز ۲ است یا اگر عرض نقطه ای روی این خط ۳- باشد طولش نیز ۳- خواهد بود. پس معادله خط نیمساز ناحیه اول و سوم به شکل y=x خواهد بود.
با توجه به این معادله ، اگر بخواهیم عرض هر نقطه ای از این خط را با دانستن طول آن نقطه به دست آوریم کافی است در معادله این خط به جای x مقدار طول آن نقطه را قرار دهیم. آنچه برای y به دست می آید همان عرض نقطه مورد نظر ما روی خط است.

اگر معادله خط ما y=x+۱ باشد، طول نقطه ای که عرض آن صفر است چند خواهد بود؟

بله کافی است به جای y صفر قرار دهید و معادله حاصل را حل کنید تا به جواب x=-۱ برسید. یعنی نقطه ای به طول ۱- روی این خط دارای عرض صفر است. یا به عبارت دیگر، نقطه (۰و۱-) روی این خط قرار دارد.
نکته جالب اینجاست که وقتی معادله هایی به شکل y=ax+b که در آن a,b اعداد حقیقی هستند را حل می کنیم. نقاط روی یک خط به دست می آیند. و همان طور که می بینید بی نهایت نقطه جواب این معادله است.(مثلا برای معادله y=x می توانید بی شمار نقطه را مشخص کنید که طول و عرض آنها با هم برابر است) یک خط از بی نهایت نقطه تشکیل شده است که همگی در رابطه ای که به آن معادله خط می گوییم صدق می کنند. یعنی اگر طول و عرض آن نقاط را در این معادله قرار دهیم به یک تساوی عددی می رسیم.
قرارداد: به معادله y=ax+b از این به بعد فرم معمول معادله خط می گوییم.

عرض از مبدأ چیست؟ چگونه عرض از مبدأ یک خط را به دست آوریم؟

به عدد b در فرم معمول معادله خط، عرض از مبدأ گفته می شود. این عدد نشان می دهد که اگر به x صفر بدهیم چه مقداری برای y به دست می آید و در حقیقت مشخص می کند که خط مورد نظر ما محور عرض ها را در چه نقطه ای قطع می کند. حتما دقت دارید که حتی اگر معادله را به فرم معمول آن ندهند شما باز هم با به دست آوردن مقدار y که با قراردادن x برابر با صفر به راحتی به دست می آید می توانید عرض از مبدا را بیابید.
مثال) عرض از مبدا خط به معادله ۳x+۵y=۱۰ برابر است با ….
.
.
.
.
.
.
.
امیدوارم به جواب ۲ رسیده باشید. دقت کنید که نیازی نیست حتما معادله را به فرم معمول بنویسید فقط کافی است به جای x صفر قرار دهید و از معادله ۵y=۱۰ مقدار y یا همان عرض از مبدا را به دست آورید.
نکته: تمام خطوط به معادله y=ax که در آنها a یک عدد حقیقی است از مبدأ مختصات عبور می کنند. (یا به اصطلاح نقطه صفر و صفر در معادله تمام این خطوط صدق می کند)

شیب خط چیست ؟ چگونه به دست می آید؟ تعبیر هندسی شیب خط چیست؟

نکته: به عدد a که ضریب x در معادله معمول خط است شیب خط گفته می شود.
دقت کنید که در این معادله y در سمت چپ و x در سمت راست تساوی قرار دارند و ضریب y عدد یک است.
در حقیقت زمانی که می گوییم در معادله خط ضریب x شیب خط است منظور ما معادله به فرم y=ax+b است. پس اگر معادله به این فرم نبود باید آن را به این شکل بازنویسی کنید.
مثال) شیب خط ۳y-۶x=۴ برابر است با ۲ زیرا اگر آن را به فرم معمول بنویسم به این شکل نوشته می شود: y=۲x+۴/۳
شیب خط به زاویه ای که خط با محور طولها می سازد مرتبط است.
هر چه شیب خط عدد بزرگتری باشد تغییرات عرض نقاط روی خط بیشتر خواهد بود. در شکل زیر شیب خط OA بیشتر از OB است.

شیب خط و مقایسه شیب خطوط با توجه به شکل

شیب خط را می توان اینگونه تعریف نمود: میزان تغییرات عرض ها به تغییرات طولها یا نسبت تغییرات عرض نقاط به تغییرات طول نقاط روی خط. پس اگر دو نقطه از خطی را داشته باشیم برای یافتن شیب آن خط کافی است عرض نقاط را از هم کم کنیم و سپس اختلاف طول نقاط را نیز به دست آوریم و این دو عدد را برهم تقسیم کنیم.
در بسیاری از تستها فقط دانستن منفی یا مثبت بودن شیب خط می تواند ما را به جواب درست راهنمایی کند.
در این موارد دقت کنید که اگر با افزایش x ها مقدار y ها افزایش پیدا کرد شیب خط مثبت است. یعنی هر وقت شما یک سربالایی دیدید متوجه می شوید که شیب خط مثبت است.(همیشه از سمت چپ به راست نگاه می کنیم) حالا اگه وقتی به سمت راست حرکت می کنیم سربخوریم یعنی مقدار عرضها کم بشه شیب منفی خواهد بود.
اگر دقت کنید می بینید شیب شکل مثال زیر مثبت است.(سربالایی داریم)
شیب خط روی شکل

محاسبه شیب خط با داشتن دو نقطه از خط

فرمول شیب خط

مثال) شیب خط گذرنده از نقطه زیر را بیابید.

به دست آوردن شیب خط با داشتن دو نقطه

شیب گذرنده از دو نقطه

نکته: از هر دو نقطه تنها یک خط عبور می کند. لذا با داشتن دو نقطه از یک خط می توان معادله آن خط را به دست آورد. برای این کار دو راه در پیش داریم. می توانیم ابتدا شیب خط را با توجه به نکات گفته شده به دست آوریم. سپس یکی از نقاط را در معادله خط قرار دهیم تا مقدار عرض از مبدأ به دست آید. راه دوم استفاده از فرمول زیر است.

یافتن معادله خط گذرنده از دو نقطه

خدا قوت! امیدوارم دید کلی خوبی نسبت به این مبحث پیدا کرده باشید. حالا وقت آن است که یکی از تستهای به ظاهر دشوار مطرح شده در آزمون های قلمچی برای دوستان پایه نهم رو مطرح کنیم.
تست از معادله خط و یافتن مساحت

دوستان برای حل این سوال شما بایستی اول دو تا خط خواسته شده رو رسم کنید. این کار خیلی ساده است. کافی است یک بار به جای x صفر قرار دهید تا محل تقاطع با محور عرضها به دست آید و بار دیگر به y صفر دهید تا محل تقاطع با محور طولها به دست بیاد. حالا دو تا نقطه رو به هم وصل کنید تا خط مورد نظر به دست آید. از اینجا به بعدش بر می گرده به دانش دوره ابتدایی شما برای به دست آوردن مساحت قسمت رنگ شده در شکلهای ساده. برای این که بهتر راه حل رو متوجه بشید پاسخ ارائه شده طراح رو هم براتون قرار میدم.
پاسخ تست دامدار قلمچی از یافتن مساحت حاصل از تقاطع خطوط
دانلود خلاصه درس معادله خط و حل دستگاه معادله های خطی – بخش اول

دانلود خلاصه درس معادله خط و حل دستگاه معادله های خطی – بخش دوم

نکات تکمیلی معادله خط

نکات تکمیلی که در این بخش ارائه می شود، در آزمونهای مدارس نمونه و تیزهوشان بیشتر کاربرد دارند.
دانش آموزان رشته تجربی در سال یازدهم در اولین فصل کتاب ریاضی 2 نیز با این نکات آشنا می شوند.

نکات مهم معادله خط

نکات مهم معادله خط

یافتن قرینه یک خط نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم (y=x)

کافی است جای x، y و به جای y، x قرار دهیم. معادله به دست آمده قرینه خط نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم است.
این نکته از مفهوم تابع وارون که دانش آموزان در فصل سوم ریاضی 2 پایه یازدهم با آن آشنا می شوند، به دست می آید.
برای تسلط بیشتر می توانید نمونه سوالات زیر را دانلود نمایید.
دانلود نمونه آزمون فصل ششم – سری اول
دانلود نمونه آزمون فصل ششم – سری دوم
دانلود نمونه سوال فصل معادله خط از مدارس نمونه دولتی

حل تست کنکور تجربی سال 1397 با استفاده از نکات تکمیلی مبحث معادله خط

تست 126 کنکور سراسری تجربی سال 97:

تست 126 کنکور تجربی 97

تست 126 کنکور تجربی 97

خلاصه درس ویژه کلاسهای عمومی از فصل ششم ریاضی نهم – مبحث معادله خط