دایره

دایره چه نقاطی در صفحه را مشخص می کند؟

در هندسه به محل مجموعه ای از نقاط که یک ویژگی خاص دارند را اصطلاحا مکان هندسی گویند.
مثال) ثابت می شود هر نقطه روی عمود منصف پاره خط از دو سر پاره خط به یک فاصله است.
لذا مکان هندسی نقاطی که از دو سر یک پاره خط به یک فاصله اند بیانگر عمود منصف آن پاره خط است.

تعریف هندسی دایره

مکان هندسی نقاطی در صفحه که از یک نقطه مشخص به نام مرکز به یک فاصله ثابت و معین هستند را دایره گویند.
به این فاصله ثابت شعاع گفته می شود.
فاصله مرکز تا محیط دایره یا اندازه پاره خط وصل کننده مرکز به محیط دایره را شعاع دایره گویند.

فرمول محیط دایره چیست؟
فرمول مساحت دایره چیست؟

در دوره ابتدایی با دایره و نحوه به دست آوردن محیط و مساحت آن آشنا شدید.
به شکل های گرد دایره می گفتیم و مساحتش برابر بود با 3.14 ضربدر شعاع ضربدر شعاع
در دوره متوسطه اول که مفهوم توان را آموختیم فرمول مساحت دایره را این گونه بیان می کنیم:
مربع شعاع ضربدر عدد پی با مقدار تقریبی 3.14
محیط دایره برابر است با قطر ضربدر عدد پی.
همچنین با شعاع، قطر و مرکز دایره نیز آشنا شده بودید.
مرکز دایره نقطه ای درون آن است که از همه نقاط روی آن به یک فاصله است.(در درس هندسه دانش آموزان دبیرستان دایره را این گونه تعریف می کنند: مکان هندسی مجموعه نقاطی که از یک نقطه مشخص (مرکز دایره) به یک فاصله هستند.)
شعاع پاره خط وصل کننده محیط و مرکز است و قطر نیز خطی است که دایره را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند و دو سر آن روی محیط دایره قرار دارد.

انواع وضعیت های یک خط و دایره

یک خط با دایره سه حالت ممکن است داشته باشد:

حالت اول :

دایره را قطع نکند و در بیرون دایره قرار گرفته باشد. در این صورت فاصله خط تا مرکز دایره بیش از شعاع دایره است.

حالت دوم :

دایره را در یک نقطه قطع کند یا اصطلاحا بر دایره مماس باشد. در این حالت شعاع بر خط عمود است. بدیهی است در این حالت فاصله خط تا مرکز دایره بر است با شعاع دایره.

حالت سوم :

دایره توسط خط در دو نقطه قطع شود. به پاره خط حاصل از این تقاطع وتر گفته می شود.
نکته: قطر دایره یک وتر است که دایره را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.
نکته: خطی که از مرکز دایره بر وتر عمود می شود، آن وتر را نصف می کند و بر عکس پاره خطی که مرکز دایره را به وسط وتر وصل می کند، بر آن عمود است.

زاویه مرکزی چیست؟ فرمول به دست آوردن اندازه زاویه مرکزی چیست؟

زاویه مرکزی(محیطی)

زاویه ای است که راس آن مرکز دایره باشد. این زاویه با کمانی که روبروی آن قرار گرفته است برابر می باشد.
دقت کنید که اندازه یک کمان با طول متفاوت است. در حقیقت اندازه کمان از جنس زاویه است در صورتی که طول کمان از جنس طول است و با واحدی نظیر متر یا سانتی متر اندازه گیری می شود.
نسبت اندازه کمان به ۳۶۰ برابر است با نست طول کمان به محیط دایره.

زاویه محاطی چیست؟ فرمول به دست آوردن اندازه زاویه محاطی چیست؟

زاویه محاطی

رأس این زاویه روی دایره است و ضلع های آن، دایره را قطع می کنند. اندازه این زاویه نصف کمان روبروی آن است.

حالا نوبت حل یکی از تمرینات زیبای کتاب ریاضی تکمیلی (سمپاد) پایه هشتم است.
در شکل زیر مقدار x را بیابید.

تمرینی از زاویه و دایره از ریاضی تکمیلی هشتم

تمرینی از زاویه و دایره از ریاضی تکمیلی هشتم

برای حل این تمرین اگر نیاز به راهنمایی دارید به ادامه مطلب توجه کنید.
کافی است ابتدا نقاط E و F را روی شکل مشخص کنید و از مکمل بودن زاویه های C و F در چهارضلعی تشکیل شده کمک بگیرید.

راهنمای حل تمرین ریاضی تکمیلی مبحث دایره و زاویه

راهنمای حل تمرین ریاضی تکمیلی مبحث دایره و زاویه


بعد از این مرحله زاویه های C و F را با توجه به مجموع زاویای یک مثلث در دو مثلث ABC و BDF بر حسب x بیان کنید.
با استفاده از دو رابطه ای که به دست می آید به راحتی مقدار x برابر 20 به دست می آید.
در ادامه دو تست بسیار زیبا که در بردارنده نکات ارزشمندی از ریزه کاری های مبحث دایره است در قالب یک فیلم آموزشی ارائه می شود.