بردار و مختصات

بردار چیست؟

بردار یک فلش یا پیکان است که ابتدای آن نقطه شروع حرکت شماست و انتهای آن که نوک فلش یا پیکان قرار می گیرد انتهای حرکت شما را نشان می دهد.
تعریف کتابی: پاره خطی جهت دار!
تذکر: اگر به صورت خط راست حرکت نکنید، خطی که ابتدا و انتهای مسیر را به هم وصل می کند و دارای فلش یا پیکانی است که جهت حرکت را نشان می دهد، نشان دهنده بردار جابجایی می باشد.
در رياضی به پاره خط جهت دار بردار می گوييم.
یاداوری: پاره خط ، خطی است که دو سر آن بسته باشد و در نتیجه طول آن محدود است.

شباهت و تفاوت مختصات بردار و مختصات نقطه

برای مشخص کردن موقعیت یک نقطه در صفحه باید بدانیم چه موقعیت افقی و عمودی در صفحه دارد.
برای مولفه افقی یا طول یک نقطه باید ببینیم نقطه داده شده، چند واحد در سمت راست یا چپ مبدا قرار گرفته است. اگر در سمت چپ بود حتما علامت مولفه افقی منفی می شود.
برای مولفه عمودی یا عرض نقطه یک نقطه باید ببینیم نقطه داده شده، چند واحد در سمت بالا یا پایین مبدا قرار گرفته است. اگر نقطه پایین تر از مبدا بود حتما علامت مولفه عمودی یا همان عرض نقطه منفی است.
پس برای مشخص شدن مختصات یک نقطه موقعیت آن را نسبت به مبدا مختصات باید بدانیم. طول نقطه در بالا و عرض نقطه در پایین کروشه ای که برای بیان مختصات استفاده می شود قرار می گیرد.
در بیان مختصات بردار ما به ابتدای بردار توجه می کنیم و میزان حرکت افقی و عمودی نسبت به آن نشان دهنده مختصات بردار است. مثلا اگر دو واحد به سمت راست و سه واحد به سمت پایین حرکت کرده باشیم طول بردار 2 و عرض آن 3- خواهد بود.

آیا مفهوم مختصات را به خوبی متوجه شده اید؟

برای اینکه مطمئن شویم مفهوم مختصات بردار و مختصات نقطه را به خوبی درک کرده اید، برداری را رسم کنید که در ناحیه چهارم دستگاه مختصات بوده و طول آن سه و عرض آن یک باشد.
برخی دانش آموزان می گویند در ناحیه چهارم که عرض منفی است پس چگونه برداری با عرض منفی در این ناحیه رسم کنیم؟
پاسخ شما به این دوستان چیست؟
پاسخ فقط در یک نکته ساده نهفته است و آن این است که مختصات بردار نسبت به ابتدای آن تعیین می شود نه مبدا مختصات.

مختصات بردار - بردای با عرض مثبت در ناحیه چهارم
مختصات بردار – بردای با عرض مثبت در ناحیه چهارم

ویژگی های بردارهای مساوی چیست؟

دو بردار که راستا، جهت و اندازه آنها برابر باشد با هم مساوی اند.

تفاوت راستا و جهت در چیست؟

برای درک بهتر این تفاوت اجازه دهید مثالی بزنیم. بردار افقی را در نظر بگیرید که پیکان سر آن به سمت راست باشد. افقی بودن راستای بردار و نوک پیکان که از چپ به راست است ؛ جهت بردار را نشان می دهد.
در سال نهم می آموزید که راستا همان شیب خط است که به زاویه خط با محور افقی ارتباط دارد. اگر زاویه بین خط و محور افقی در مورد هر دو خط یکسان باشد آن دو خط باهم موازی هستند.

چه زمانی دو بردار هم راستا یا موازی هستند؟

ه بردارهایی که هم راستا هستند موازی گفته می شود. تعریف ساده تر این است که اگر بردارها را امتداد دهیم هیچ گاه همدیگر را قطع نمی کنند. (مگر اینکه کاملا بتوانند همدیگر را پوشش دهند)

بردارهای مساوی و بردارهای قرینه نمونه ای از بردارهای موازی هستند.

بیان اول) اگر دو بردار به ازای هر یک واحدی که در راستای طول حرکت می شود، به یک مقدار در راستای عرض حرکت را نشان دهند دو بردار هم راستا هستند.
بیان دوم) اگر نسبت عرض به طول دو بردار با هم مساوی باشد، دو بردار هم راستا یا موازی هستند.
بیان سوم) اگر نسبت طول دو بردار با نسبت عرض دو بردار برابر باشد دو بردار موازی هستند.

ویژگی های بردارهای قرینه

بردار های موازی و قرینه

دو برداری قرينه يکديگرند که هم راستا و هم اندازه باشند ولی جهت هايشان عکس يکديگر باشد. در شکل زیر نمونه ای از بردارهای قرینه را می بینید. در این شکل سه جفت بردار قرینه دیده می شود.

دقت دارید که در قرینه بودن دو بردار ، حتما دو بردار موازی هم هستند و اندازه آن ها یکسان است فقط جهت آن ها متفاوت است.
طول و عرض دو بردار که با هم قرینه هستند ، قرینه یکدیگر است.

بیان حرکت های جهت دار – روش ساده یافتن مختصات بردار حرکت (جابجایی)

برای به دست آوردن مختصات بردار کافی است انتهای بردار را منهای ابتدای آن کنید.
زمانی که شما با یک شکل مواجه هستید یا به شما چند حرکت جهت دار را می دهند ؛ برای به دست آوردن مختصات یک بردار از روی شکل کافی است ببینید چقدر انتهای آن نسبت به ابتدایش در سمت راست یا چپ قرار گرفته تا مختصه طول آن را بنویسید و چقدر بالا یا پایین تر قرار گرفته تا مختصه عرض را بنویسید.
مثلا اگر سه واحد به سمت راست و دو واحد بالا رفته باشیم طول  سه و عرض آن دو خواهد بود.

ضرب عدد در بردار

از ضرب یک عدد غیر صفر در یک بردار، برداری به دست می آید که با بردار اول همراستا (موازی) است.
اگر عدد ضرب شده مثبت باشد، دو بردار هم جهت هستند. در غیر این صورت جهت دو بردار مخالف هم است.
در ضرب عدد در بردار دقت کنید که این عدد هم در طول و هم در عرض بردار ضرب می شود.

بردارهای واحد طول و عرض i و j و نیمسازهای نواحی مختصات

بردار i به عنوان بردار واحد طول و بردار j به عنوان بردار واحد عرض شناخته می شود.
منظور از بردار واحد ، برداری است که اندازه آن یک واحد است.
اگر برداری به صورت ۲i-۴j نوشته شد، یعنی طول آن ۲ و عرضش ۴- است.
اگر در برداری یکی از مولفه های i یا j وجود نداشته باشد، به ترتیب یعنی طول یا عرض آن صفر است. مثلا ۲i برداری است به طول ۲ و عرض صفر که موازی محور طول ها می باشد.
نکته: گاهی به جای “بردار واحد” از عبارت “بردار یکه” استفاده می شود.

بردارهای موازی محورهای مختصات

نکته: بردارهای موازی محورهای مختصات حتما دارای یک مولفه طولی یا عرضی برابر صفر هستند. (موازی محور طول ها هستند اگر عرض آن ها صفر باشد و موازی محور عرض ها هستند اگر طول آن ها صفر باشد.)
در نیمساز ناحیه اول و سوم طول و عرض با هم برابر هستند. و در نیمساز ناحیه دوم و چهارم طول و عرض قرینه هم می باشند.
مثال) اگر نقطه ای به طول x-۳ و عرض ۲x+۵ روی نیمساز ناحیه دوم و چهارم قرار داشته باشد، مختصات آن را بیابید.
راهنمایی: با توجه به این که در نیمساز ناحیه دوم و چهارم طول و عرض هر نقطه قرینه همدیگر هستند، کافی است طول را برابر قرینه عرض قرار دهید و معادله به دست آمده را حل کنید.

برای دانلود فیلم آموزش مفاهیم بردار و مختصات اینجا کلیک کنید.

تذکر ساده) منظور از نوشتن مختصات در کتب ریاضی هفتم و هشتم، استفاده از کروشه است، که در فسمت بالای آن طول و در قسمت پایین عرض را می نویسیم.

پس هرگاه در مسأله ای از i و j استفاده شده بود کافی است ضریب i را به عنوان طول و ضریب j را به عنوان عرض داخل کروشه قرار دهیم تا مختصات بردار مدنظر را به دست آوریم.

چگونه معادله های برداری را حل کنیم؟

معادله های برداری، معادله هایی هستند که در آنها مجهول یک بردار یا یک بخش از مختصات است. دو حالت کلی می توان برای چنین معادله هایی در نظر گرفت:
الف)از حل معادله به دنبال یافتن یک بردار باشیم.

در این صورت کافی است با این بردار مشابه یک مجهول عادی رفتار کنیم و برای حل معادله از آنچه در مورد جمع دو بردار و ضرب عدد در بردار آموخته ایم در کنار روشهای عادی حل معادله استفاده کنیم.

حل یک نمونه معادله برداری ازین دسته را در زیر مشاهده می کنید.

بردار و حل معادله برداری

ب) هدف از حل معادله یافتن مجهولاتی است که در مولفه طولی یا عرضی معادله دیده می شوند. (هدف یافتن عدد است نه مختصات)
همان طور که گفته شد یک بردار دارای طول و عرض است. (یا همان مولفه طولی و مولفه عرضی) پس برای حل معادله برداری، بهتر است رابطه میان طول بردارها و رابطه بین عرض آنها را به صورت جداگانه بنویسیم.

با این کار عملا معادله برداری به یک یا دو معادله عددی تبدیل می شود. با حل این معادله یا معادله های عددی می توانیم خواسته های مسأله (متغیرها یا همان مجهولات) را بیابیم.

حل معادله برداری برای یافتن یک متغیر عددی


برای استفاده از سایر مباحث مربوط به متوسطه اول می توانید به صفحه هشتم یا نهم متناسب با مطلب مورد نظر خود مراجعه کنید.

حالا وقتشه یه پیشنهاد ویژه بهت بدم!

بردار و مختصات در یک نگاه

یه جزوه 6 صفحه ای با کلی مثال حل شده و توضیح که با همت پشتیبان خوبم تهیه شده:) سوالات و جزوه تایپ شده است و حل مثالها و توضیحات تکمیلی به صورت دستی وارد شده است.

بعد از دانلود جزوه کافیه مبلغ 1000 تومان را به شماره کارت 5859831036176732 ( بانک تجارت ) واریز کنی و عکس رسید پرداخت را به همراه یک شماره تلفن همراه از خودت به آدرس reza.baghdar@gmail.com ایمیل کنی تا رمز فایل را برات پیامک کنیم.
اگر سوالی داشتید یکی از دو شماره تماس 09356816738 یا 09220084045 پاسخگوی شماست.

ورود به صفحه ریاضی هشتم

ورود به صفحه ریاضی نهم

تمرینات ویژه دانش آموزان عزیزم
تمرین سری اول از فصل پنجم

5 Replies to “بردار و مختصات”

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *