آمار در ریاضی

 مفاهیم و نکات آمار در ریاضی

آمار یکی از مباحث پایه‌ای و مهم کتاب‌های ریاضی چه در دوره متوسطه اول در پایه‌های هفتم و هشتم و چه در دوره متوسطه دوم در تمامی رشته های نظری است.

فصل نهم کتاب ریاضی پایه هفتم و فصل هشتم کتاب ریاضی پایه هشتم به مبحث آمار می‌پردازد.

در پایه نهم فصلی با عنوان آمار و احتمال به چشم نمی خورد و فقط در فصل اول آن مبحث احتمال مجدداً مطرح می شود تا رابطه آن با مطالب مربوط به مجموعه ها مورد بررسی قرار گیرد. به ویژه نحوه تشکیل فضای پیشامدها و فضای پیشامد مطلوب در قالب مجموعه ها در این فصل بیان می شود.
داوطلبان کنکور سراسری با توجه به اینکه درس آمار در کلیه رشته های نظری اعم از ریاضی، تجری و انسانی به تدریج تکمیل می گردد، می توانند مباحث پایه در این صفحه مرور نمایند.

آمار، فراوانی، نمودارها، میانگین، میانه

علم آمار علم جمع آوری اطّلاعات، سازماندهی و بررسی آنها است. اطّلاعات جمع آوری شده را داده های آماری می گویند.

جمع آوری اطلاعات: پرسیدن، پرسشنامه، مشاهده و…

این بخش ابتدای راه و شاید مهم ترین بخش کار باشد. در این مرحله است که محقق داده های مورد نیاز را جمع آوری می کند.

مشخص کردن گزینه های محدود کننده یا گسترده بودن محدوده پاسخ دو انتخاب پیش روی محقق است. در مثال انتخاب رنگ مورد علاقه دانش آموزان محدود کردن آنها به انتخاب از بین سه رنگ خاص یا انتخاب آزادانه هر رنگ دلخواه می تواند به نتایج متفاوتی بیانجامد.

مسلما هر روش مزایا و معایبی دارد و در بررسی جواب باید به نحوه جمع آوری اطلاعات دقت نمود.

ممکن است در روش محدود کردن گزینه های مورد انتخاب عملا رنگ مورد علاقه بیشتر دانش آموزان حذف شده باشد. همان طور که ممکن است تنوع پاسخ های ارائه شده کار انتخاب رنگ را دشوار نماید.

در این مورد خاص که تعداد دانش آموزان محدود به یک کلاس است می توان از دو شیوه برای بهبود نتایج استفاده کرد:

مثلا ابتدا رنگ مورد علاقه دانش آموزان را بدون محدودیت جمع آوری نمود و سپس از بین رنگ های با بیشترین تعداد مقبولیت، در مورد سه یا چهار رنگ مجددا از دانش آموزان نظرسنجی نمود.
سازماندهی: نوشتن کنارهم، جدول بندی، نمودارها،…
بررسی:انتخاب بهترین گزینه که در این مثال می تواند بیشترین تکرار(یا اصطلاحا مد)، میانه یا مفهوم آماری دیگری  باشد.
برای مقایسه و بررسی بهتر داده های آماری از انواع نمودارها استفاده می کنند.
برای مثال نمودار ستونی برای مقایسۀ تعداد، پیدا کردن بیشترین و کمترین داده به کار می رود.

این نحوه نمایش داده ها یکی از پر کاربردترین روشهای مورد پرسش طراحان تست بعد از نمودار دایره ای است.

آمار-نمودار ستونی

آمار-نمودار ستونی

نمودار خطّ شکسته برای نمایش تغییرها کاربرد دارد؛ بنابراین در موضوع هایی که تغییرها اهمّیت دارد، از این نمودار استفاده می شود.

برای نمونه تغییرها در بازار های مالی، قیمت طلا، نفت، سهام و… را با این نمودار نشان می دهند.

آمار-نمودار خط شکسته

آمار-نمودار خط شکسته

نمودار تصویری که در آن از یک نماد مثل آدمک برای نشان دادن مقدار خاصی استفاده می شود؛ برای نشان دادن مقادیر که معمولا نیاز به تقریب زدن اعداد دارد به کار می رود.

در این نمودار به راحتی می توان نسبت موضوعات را مشاهده نمود.

آمار-نمودار تصویری

آمار-نمودار تصویری

از نمودار دایره ای هم برای نشان دادن درصد یا سهم هر یک از اجزای یک موضوع مشخص استفاده می شود. از این نمودار بیشتر از سایر نمودارها در تستها استفاده شده است.

آمار - نمودار دایره ای

آمار – نمودار دایره ای

خوب حالا یه نکته جالب و اون اینکه از این مبحث توی کنکور سراسری تجربی سال 93 یه تست اومده، ببینیدش حتما:
آمار-نمودار دایره-کنکور تجربی

از لینک زیر می توانید بخش اول فیلم آموزش آمار که کل آمار ریاضی پایه هفتم را پوشش می دهد دانلود کنید.
لینک مستقیم دانلود فیلم آموزش آمار پایه هفتم
دامنه تغییرات: به فاصله یا اختلاف میان کوچکترین و بزرگترین مقدار داده ها گفته می شود. مثلا اگر کمترین نمره درس ریاضی یک کلاس 12 و بیشترین نمره اخذ شده در آن درس 19 باشد دامنه تغییرات نمرات دانش آموزان 7 خواهد بود.
اگر داده های جمع آوری شده زياد و پراکنده باشند، برای اينکه بتوانيم آسان تر و بهتر نتيجه بگيريم، داده ها را متناسب با موضوع آماری دسته بندی و سازماندهی می کنيم.
به عنوان نمونه برای دسته بندی سطح دانش آموزان می توان 4 سطح ضعیف، متوسط، خوب و قوی را در نظر گرفت و برای هر یک، محدوده ای از معدل دانش آموزان را در نظر گرفت. مثلا معدل های زیر 14 را در دسته دانش آموزان ضعیف، بین 14 تا 16 را دسته دانش آموزان متوسط و بین 16 تا 18 را درسته دانش آموزان خوب و معدل بالای 18 را در دسته دانش آموزان قوی قرار داد. در این جا عدد ابتدای هر بازه را به عنوان جزئی از همان دسته در نظر گرفته ایم.

فراوانی: تعداد داده های هر دسته را فراوانی می گویند. مثلا اگر 5 دانش آموز با معدل بالای 18 داشته باشیم فراوانی دسته دانش آموزان قوی 5 خواهد بود.
نکته: مجموع فراوانی دسته ها باید با تعداد کل جامعه آماری برابر باشد. یعنی اگر کلاسی 20 نفر دانش آموز دارد مجموع فراوانی تعداد دانش آموزان 4 دسته مورد نظر 20 خواهد بود.
نکته: از علامت نامساوی به همراه یک خط در زیر آن برای نشان دادن حالت نامساوی یا مساوی استفاده می شود مثلا برای نشان دادن کوچکتر یا مساوی که به معنای تمام داده های کوچکتر یا مساوی مورد نظر است استفاده می شود.
طول دسته: اختلاف بیشترین و کمترین مقدار داده های یک دسته است. مثلا در مثال دسته بندی دانش آموزان بر اساس معدل، طول دسته دانش آموزان ضعیف 14 و طول دسته دانش آموزان قوی 2 است.
تذکر: معمولا دسته بندی داده ها در دسته هایی با طول های مساوی انجام می شود. یعنی کمتر پیش می آید که طول یک دسته 14 و طول دسته دیگر 2 باشد.
در تمرین 3 صفحه 123 کتاب ریاضی هشتم این موضوع بررسی شده است. در این تمرین به دلیل صفر بودن فراوانی دسته های 0-4 و 16-20 بهتر است این دسته ها حذف شوند و بازه 4 تا 16 به جای 3 دسته به مثلا 4 دسته با طول 3 تقسیم بندی شود. 4 تا 7، 7 تا 10، 10 تا 13 و 13 تا 16
میانگین: ميانگين تعدادی دادهٔ عددی، از تقسيم مجموع آنها بر تعدادشان به دست می آيد.
حالا وقت آن است که در قالب یک فیلم کوتاه و مفید آموزشی یک مثال ترکیبی که در آن نمودار خوانی، تکمیل جدول فراوانی با استفاده از مفاهیم مرکز دسته، حدود دسته، فراوانی و تعیین میانگین به کمک جدول فراوانی مطرح می شود را مشاهده کنید. امیدوارم از این فیلم هم لذت ببرید و با آمار آشتی کنید.

نکته: مجموع اختلاف داده های بالای میانگین با مجموع اختلاف داده های زیر میانگین همواره برابر است.
تمرین 4 صفحه 124: ميانگين نمره های زير را به دست آوريد.
برای به دست آوردن میانگین می توانیم همه نمرات را با هم جمع کنیم و سپس بر تعداد نمرات تقسیم کنیم.
راه دوم: با توجه به داده ها به نظر می رسد میانگین حدود 13 است. پس با فرض 13 به عنوان میانگین تفاضل سایر اعداد با 13 را به دست آورده و بر تعداد اعداد تقسیم می کنیم. این مقدار را با عدد 13 جمع می کنیم.
11-13=-2
12-13=-1
14-13=1
15-13=2
-2+2×(-1)+2×1+2=0

خب چون یک عدد 11، دو تا 12 و دو تا 14 و یک 15 داریم مجموع اختلاف از میانگین حدس زده شده توسط ما صفر می باشد و لذا میانگین همان عدد 13 خواهد بود.
نکته کلیدی: برای محاسبه میانگین داده ها می توان به جای جمع تک داده ها و سپس تقسیم بر تعداد داده ها، مرکز هر دسته را به دست آورد و با ضرب کردن تعداد هر دسته در مرکز دسته مقدار تقریبی میانگین را به دست آورد.

تنها در صورتی که میانگین هر دسته با مرکز آن برابر باشد و فراوانی دسته ها نیز یکسان باشد، میانگین به دست آمده از این روش با میانگین واقعی برابر خواهد بود.
گاهی اوقات میانگین تعدادی از داده ها فقط به دلیل کم یا زیاد بودن تعداد محدودی از داده ها تغییر زیادی می کند در این گونه موارد معمولا در تحلیل ها این اطلاعات را که به آن ها داده های پرت مسئله می گویند حذف می شود. مثال: میانگین نمره های ریاضی دانش آموزان یک کلاس 30 نفره 25 / 17 شده است. یکی از دانش آموزان در این امتحان نمرهٔ 5/ 3 گرفته است؛ در حالی که بقیهٔ آنها نمرهٔ بالای 15 گرفته اند.

برای دانلود فیلم با کیفیت مطلوب تر آمار هشتم کلیک کنید.

بخش ویژه دانش آموزان حضوری:

دانلود خلاصه درس فصل هشتم (آمار و احتمال) ریاضی هشتم

یه پیشنهاد ویژه! دانلود خلاصه درس آمار و احتمال ریاضی هشتم

خلاصه مطالب در قالب یک جزوه 5 صفحه ای به همراه مثالهای حل شده و با توضیحات کافی که در حل تستها می تونه خیلی کمکتون کنه قرار داده شده. این جزوه همان جزوه کلاسهای حضوری ماست که مثالها و نکات تکمیلی به آن اضافه شده است.

پس از دانلود با واریز فقط 1000 تومان به کارت تجارت به شماره 5859831036176732 میتونید رمز فایل را بگیرید و ازین جزوه استفاده کنید.

اگر به ایمیل دسترسی دارید تصویر رسید واریزی را به همراه شماره همراه خود به آدرس reza.baghdar@gmail.com ارسال کنید تا پیامک رمز برای شما ارسال گردد.
اگر سوالی داشتید یکی از دو شماره تماس 09356816738 یا 09220084045 پاسخگوی شماست.

از طریق پیام رسان بله هم می توانید کارت به کارت را انجام دهید و رسید را ارسال کنید تا رمز را در اختیارتان قرار دهیم.

2 Replies to “آمار در ریاضی”

    • reza-baghdar Post author

      @rezabaghdar1 آیدی اینستاگرام بنده و آیدی سایر شبکه های اجتماعی مثل واتساپ، سروش، بله، ایتا و گپ @rezabaghdar

      Reply

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *